Πώς να βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό συντελεστή δύο αριθμών

Η εύρεση του μεγαλύτερου κοινού παράγοντα, ή GCF, δύο αριθμών είναι χρήσιμη σε πολλές καταστάσεις στα μαθηματικά, αλλά ιδιαίτερα όταν πρόκειται για την απλοποίηση των κλασμάτων. Εάν αγωνίζεστε με αυτό ή αν βρείτε κοινούς παρονομαστές, η εκμάθηση δύο μεθόδων για την εύρεση κοινών παραγόντων θα σας βοηθήσει να επιτύχετε αυτό που σκοπεύετε να κάνετε. Πρώτον, ωστόσο, είναι καλή ιδέα να μάθετε για τα βασικά στοιχεία των παραγόντων. τότε, μπορείτε να δείτε δύο προσεγγίσεις για την εύρεση κοινών παραγόντων. Τέλος, μπορείτε να δείτε πώς να εφαρμόσετε τις γνώσεις σας για να απλοποιήσετε ένα κλάσμα.

Οι παράγοντες είναι οι αριθμοί που πολλαπλασιάζετε μαζί για να δημιουργήσετε έναν άλλο αριθμό. Για παράδειγμα, τα 2 και 3 είναι παράγοντες του 6, επειδή 2 × 3 = 6. Ομοίως, τα 3 και 3 είναι παράγοντες του 9, επειδή 3 × 3 = 9. Όπως ίσως γνωρίζετε, οι πρώτοι αριθμοί είναι αριθμοί που δεν έχουν άλλους παράγοντες εκτός από τον εαυτό τους και 1. Έτσι το 3 είναι ένας πρωταρχικός αριθμός, επειδή οι μόνοι δύο ακέραιοι αριθμοί (ακέραιοι αριθμοί) που μπορούν να πολλαπλασιαστούν μαζί για να δώσουν το 3 ως απάντηση είναι 3 και 1. Με τον ίδιο τρόπο, το 7 είναι ένας πρωταρχικός αριθμός και το 13.

Εξαιτίας αυτού, είναι συχνά χρήσιμο να αναλύσετε έναν αριθμό σε «πρωταρχικούς παράγοντες». Αυτό σημαίνει την εύρεση όλων των πρωταρχικών παραγόντων αριθμού ενός άλλου αριθμού. Βασικά διασπά τον αριθμό στα βασικά του «δομικά στοιχεία», το οποίο είναι ένα χρήσιμο βήμα προς την κατεύθυνση Η εύρεση του μεγαλύτερου κοινού συντελεστή δύο αριθμών και είναι επίσης πολύτιμη όταν πρόκειται για την απλοποίηση του τετραγώνου ρίζες.

Η απλούστερη μέθοδος για την εύρεση του μεγαλύτερου κοινού συντελεστή δύο αριθμών είναι απλά να απαριθμήσετε όλους τους παράγοντες κάθε αριθμού και να αναζητήσετε τον υψηλότερο αριθμό που μοιράζονται και οι δύο. Φανταστείτε ότι θέλετε να βρείτε τον υψηλότερο κοινό συντελεστή 45 και 60. Αρχικά, κοιτάξτε τους διαφορετικούς αριθμούς που μπορείτε να πολλαπλασιάσετε μαζί για να δημιουργήσετε 45.

Ο ευκολότερος τρόπος για να ξεκινήσετε είναι με τα δύο που γνωρίζετε ότι θα λειτουργήσουν, ακόμη και για έναν προνομιακό αριθμό. Σε αυτήν την περίπτωση, γνωρίζουμε 1 × 45 = 45, έτσι γνωρίζουμε ότι το 1 και το 45 είναι παράγοντες του 45. Αυτοί είναι οι πρώτοι και τελευταίοι παράγοντες των 45, οπότε μπορείτε απλά να συμπληρώσετε από εκεί. Στη συνέχεια, μάθετε αν το 2 είναι ένας παράγοντας. Αυτό είναι εύκολο, γιατί οποιοσδήποτε αριθμός ζυγός θα διαιρείται με 2, και οποιοσδήποτε περίεργος αριθμός δεν θα. Γνωρίζουμε λοιπόν ότι το 2 δεν αποτελεί παράγοντα 45. Τι γίνεται με το 3; Θα πρέπει να μπορείτε να εντοπίσετε ότι το 3 είναι ένας παράγοντας 45, επειδή 3 × 15 = 45 (μπορείτε πάντα να βασίζεστε σε αυτό που εσείς ξέρετε να το επιλύσετε, για παράδειγμα, θα γνωρίζετε ότι 3 × 12 = 36 και η προσθήκη τριών σε αυτό σας οδηγεί 45).

Στη συνέχεια, το 4 είναι ένας παράγοντας 45; Όχι - ξέρετε 11 × 4 = 44, οπότε δεν μπορεί να είναι! Στη συνέχεια, τι γίνεται με το 5; Αυτό είναι άλλο εύκολο, επειδή οποιοσδήποτε αριθμός που τελειώνει σε 0 ή 5 διαιρείται με 5. Και με αυτό, μπορείτε εύκολα να εντοπίσετε ότι 5 × 9 = 45. Αλλά το 6 δεν είναι καλό γιατί 7 × 6 = 42 και 8 × 6 = 48. Από αυτό μπορείτε επίσης να δείτε ότι τα 7 και 8 δεν είναι παράγοντες των 45. Γνωρίζουμε ήδη ότι το 9 είναι και είναι εύκολο να δούμε ότι τα 10 και 11 δεν είναι παράγοντες. Συνεχίστε αυτήν τη διαδικασία και θα διαπιστώσετε ότι το 15 είναι ένας παράγοντας, αλλά τίποτα άλλο δεν είναι.

Έτσι, οι παράγοντες των 45 είναι: 1, 3, 5, 9, 15 και 45.

Για 60, τρέχετε την ίδια ακριβώς διαδικασία. Αυτή τη φορά ο αριθμός είναι ομοιόμορφος (οπότε γνωρίζετε 2 είναι ένας παράγοντας) και διαιρείται με το 10 (έτσι 5 και 10 είναι και οι δύο παράγοντες), γεγονός που καθιστά τα πράγματα λίγο πιο εύκολα. Αφού περάσετε ξανά τη διαδικασία, θα πρέπει να δείτε ότι οι παράγοντες 60 είναι: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 και 60.

Η σύγκριση των δύο λιστών δείχνει ότι το 15 είναι ο μεγαλύτερος κοινός παράγοντας των 45 και 60. Αυτή η μέθοδος μπορεί να είναι χρονοβόρα, αλλά είναι απλή και θα λειτουργεί πάντα. Μπορείτε επίσης να ξεκινήσετε με οποιονδήποτε υψηλό κοινό παράγοντα που μπορείτε να εντοπίσετε αμέσως και, στη συνέχεια, απλά να αναζητήσετε υψηλότερους παράγοντες κάθε αριθμού.

Η δεύτερη μέθοδος εύρεσης του GCF για δύο αριθμούς είναι η χρήση πρωταρχικών παραγόντων. Η διαδικασία της πρωταρχικής παραγοντοποίησης είναι λίγο πιο εύκολη και πιο δομημένη από την εύρεση κάθε παράγοντα. Ας περάσουμε από τη διαδικασία για τα 42 και 63.

Η διαδικασία της πρωταρχικής παραγοντοποίησης περιλαμβάνει βασικά την κατανομή του αριθμού έως ότου μείνετε μόνο με τους πρώτους αριθμούς. Είναι καλύτερο να ξεκινήσετε με το μικρότερο prime (δύο) και να εργαστείτε από εκεί. Έτσι, για 42, είναι εύκολο να δούμε ότι 2 × 21 = 42. Στη συνέχεια, δουλέψτε από το 21: Είναι το 2 ένας παράγοντας; Όχι. Είναι 3; Ναί! 3 × 7 = 21 και 3 και 7 είναι και οι δύο πρώτοι αριθμοί. Αυτό σημαίνει ότι οι πρωταρχικοί παράγοντες των 42 είναι 2, 3 και 7. Το πρώτο «διάλειμμα» χρησιμοποίησε το 2 για να φτάσει στο 21 και το δεύτερο το έσπασε σε 3 και 7. Μπορείτε να το ελέγξετε πολλαπλασιάζοντας όλους τους παράγοντες μαζί και ελέγχοντας ότι έχετε τον αρχικό αριθμό: 2 × 3 × 7 = 42.

Για το 63, το 2 δεν είναι παράγοντας, αλλά το 3 είναι, επειδή 3 × 21 = 63. Και πάλι, το 21 χωρίζεται σε 3 και 7 - και τα δύο πρωταρχικά - έτσι γνωρίζετε τους πρωταρχικούς παράγοντες! Ο έλεγχος δείχνει ότι 3 × 3 × 7 = 63, όπως απαιτείται.

Βρίσκετε τον υψηλότερο κοινό συντελεστή κοιτάζοντας ποιοι πρωταρχικοί παράγοντες έχουν τους κοινούς δύο αριθμούς. Σε αυτήν την περίπτωση, το 42 έχει 2, 3 και 7 και το 63 έχει 3, 3 και 7. Έχουν 3 και 7 κοινά. Για να βρείτε τον υψηλότερο κοινό παράγοντα, πολλαπλασιάστε όλους τους κοινούς πρωταρχικούς παράγοντες μαζί. Σε αυτήν την περίπτωση, 3 × 7 = 21, έτσι το 21 είναι ο μεγαλύτερος κοινός παράγοντας των 42 και 63.

Το προηγούμενο παράδειγμα μπορεί να επιλυθεί πιο γρήγορα με αυτόν τον τρόπο. Επειδή το 45 διαιρείται με τρία (3 × 15 = 45) και το 15 μπορεί επίσης να διαιρεθεί με τρία (3 × 5 = 15), οι πρωταρχικοί παράγοντες του 45 είναι 3, 3 και 5. Για το 60, διαιρείται με δύο (2 × 30 = 60), το 30 διαιρείται και με δύο (2 × 15 = 30) και στη συνέχεια μένετε με 15, το οποίο γνωρίζουμε ότι έχει τρεις και πέντε ως πρωταρχικούς παράγοντες αφήνοντας τα 2, 2, 3 και 5. Συγκρίνοντας τις δύο λίστες, τρεις και πέντε είναι οι συνηθισμένοι πρωταρχικοί παράγοντες, επομένως ο μεγαλύτερος κοινός παράγοντας είναι 3 × 5 = 15.

Σε περίπτωση που υπάρχουν τρεις ή περισσότεροι συνηθισμένοι πρωταρχικοί παράγοντες, πολλαπλασιάζετε τους όλους μαζί με τον ίδιο τρόπο για να βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό παράγοντα.

Εάν σας παρουσιάζεται ένα κλάσμα όπως το 32/96, μπορεί να κάνει πολύ περίπλοκους τους υπολογισμούς που ακολουθούν, εκτός αν μπορείτε να εντοπίσετε έναν τρόπο απλοποίησης του κλάσματος. Η εύρεση του χαμηλότερου κοινού συντελεστή 32 και 96 θα σας πει τον αριθμό για τον διαχωρισμό και των δύο, για να πάρετε ένα απλούστερο κλάσμα. Σε αυτήν την περίπτωση:

Για το 96, η διαδικασία δίνει:

Πρέπει να είναι σαφές ότι 2⁵ = 32 είναι ο υψηλότερος κοινός παράγοντας. Ο διαχωρισμός και των δύο μερών του κλάσματος με 32 δίνει:

Η εύρεση κοινών παρονομαστών είναι μια παρόμοια διαδικασία. Φανταστείτε ότι έπρεπε να προσθέσετε τα κλάσματα 15/45 και 40/60. Γνωρίζουμε από το πρώτο παράδειγμα ότι ο 15 είναι ο υψηλότερος κοινός συντελεστής 45 και 60, οπότε μπορούμε να τους εκφράσουμε αμέσως ως 5/15 και 10/15. Δεδομένου ότι 3 × 5 = 15 και και οι δύο αριθμητές μπορούν επίσης να διαιρεθούν με πέντε, μπορούμε να διαιρέσουμε και τα δύο μέρη και των δύο κλασμάτων με πέντε για να πάρουμε το 1/3 και το 2/3. Τώρα είναι πολύ πιο εύκολο να το προσθέσετε και να το δείτε