Μια εφαπτόμενη γραμμή σε μια καμπύλη αγγίζει την καμπύλη σε ένα μόνο σημείο, και η κλίση της είναι ίση με την κλίση της καμπύλης σε αυτό το σημείο. Μπορείτε να εκτιμήσετε την εφαπτομενική γραμμή χρησιμοποιώντας ένα είδος μεθόδου εικασίας και ελέγχου, αλλά ο πιο απλός τρόπος για να το βρείτε είναι μέσω του λογισμού. Το παράγωγο μιας συνάρτησης σας δίνει κλίση σε οποιοδήποτε σημείο, οπότε λαμβάνοντας το παράγωγο της συνάρτησης που περιγράφει την καμπύλη σας, μπορείτε να βρείτε την κλίση της εφαπτομενικής γραμμής και στη συνέχεια να λύσετε για την άλλη σταθερά να πάρει το δικό σας απάντηση.
Σημειώστε τη συνάρτηση για την καμπύλη της οποίας η εφαπτομένη γραμμή πρέπει να βρείτε. Προσδιορίστε σε ποιο σημείο θέλετε να ακολουθήσετε την εφαπτομένη γραμμή (π.χ. x = 1).
Πάρτε το παράγωγο της συνάρτησης χρησιμοποιώντας τους κανόνες παραγώγων. Υπάρχουν πάρα πολλά για να συνοψίσουμε εδώ. Μπορείτε να βρείτε μια λίστα των κανόνων παραγώγων στην ενότητα Πόροι, ωστόσο, σε περίπτωση που χρειάζεστε επανάληψη:
Παράδειγμα: Εάν η συνάρτηση είναι f (x) = 6x ^ 3 + 10x ^ 2 - 2x + 12, το παράγωγο θα έχει ως εξής:
f '(x) = 18x ^ 2 + 20x - 2
Σημειώστε ότι αντιπροσωπεύουμε το παράγωγο της αρχικής συνάρτησης προσθέτοντας το «σήμα, έτσι ώστε το f» (x) είναι το παράγωγο του f (x).
Συνδέστε την τιμή x για την οποία χρειάζεστε την εφαπτομένη γραμμή στο f '(x) και υπολογίστε τι f' (x) θα είναι εκείνο το σημείο.
Παράδειγμα: Εάν το f '(x) είναι 18x ^ 2 + 20x - 2 και χρειάζεστε το παράγωγο στο σημείο όπου x = 0, τότε θα συνδέσετε το 0 σε αυτήν την εξίσωση στη θέση του x για να λάβετε τα ακόλουθα:
f '(0) = 18 (0) ^ 2 + 20 (0) - 2
έτσι f '(0) = -2.
Γράψτε μια εξίσωση της φόρμας y = mx + b. Αυτή θα είναι η εφαπτομένη σας γραμμή. m είναι η κλίση της εφαπτομενικής γραμμής σας και είναι ίση με το αποτέλεσμα σας από το βήμα 3. Ωστόσο, δεν γνωρίζετε ακόμη και θα πρέπει να το λύσετε. Συνεχίζοντας το παράδειγμα, η αρχική σας εξίσωση με βάση το βήμα 3 θα είναι y = -2x + b.
Συνδέστε την τιμή x που χρησιμοποιήσατε για να βρείτε την κλίση της εφαπτόμενης γραμμής στην αρχική σας εξίσωση, f (x). Με αυτόν τον τρόπο, μπορείτε να προσδιορίσετε την τιμή y της αρχικής σας εξίσωσης σε αυτό το σημείο και, στη συνέχεια, να την χρησιμοποιήσετε για να λύσετε το b στην εξίσωση εφαπτομένης γραμμής
Παράδειγμα: Εάν x είναι 0 και f (x) = 6x ^ 3 + 10x ^ 2 - 2x + 12, τότε f (0) = 6 (0) ^ 3 + 10 (0) ^ 2 - 2 (0) + 12. Όλοι οι όροι σε αυτήν την εξίσωση πηγαίνουν στο 0 εκτός από τον τελευταίο, οπότε f (0) = 12.
Αντικαταστήστε το αποτέλεσμα από το βήμα 5 για το y στην εξίσωση εφαπτομενικής γραμμής σας και, στη συνέχεια, αντικαταστήστε την τιμή x που χρησιμοποιήσατε στο βήμα 5 για x στην εξίσωση εφαπτομενικής γραμμής και λύστε το b.
Παράδειγμα: Γνωρίζετε από ένα προηγούμενο βήμα ότι y = -2x + b. Εάν y = 12 όταν x = 0, τότε 12 = -2 (0) + b. Η μόνη πιθανή τιμή για το b που θα δώσει ένα έγκυρο αποτέλεσμα είναι 12, επομένως b = 12.
Γράψτε την εξίσωση εφαπτομενικής γραμμής, χρησιμοποιώντας τις τιμές m και b που έχετε βρει.
Παράδειγμα: Γνωρίζετε m = -2 και b = 12, έτσι y = -2x + 12.
Πράγματα που θα χρειαστείτε
- Μολύβι
- Χαρτί
- Αριθμομηχανή