Πώς να συγκρίνετε LCD και LCM στα μαθηματικά πέμπτου βαθμού

Κατά την πρώτη εκμάθηση, οι μαθηματικές έννοιες όπως το λιγότερο κοινό πολλαπλό (LCM) και ο λιγότερο κοινός παρονομαστής (LCD) μπορεί να φαίνονται άσχετες. Μπορεί επίσης να φαίνονται πολύ δύσκολα. Όμως, όπως και οι άλλες μαθηματικές δεξιότητες, η πρακτική βοηθά. Η εύρεση του λιγότερο κοινού πολλαπλού από δύο ή περισσότερους αριθμούς και ο λιγότερο κοινός παρονομαστής δύο ή περισσότερων κλασμάτων θα είναι πολύτιμες δεξιότητες σε μαθήματα μαθημάτων και τάξεις στο μέλλον.

Το μικρότερο κοινό πολλαπλάσιο από δύο (ή περισσότερους) αριθμούς ονομάζεται το λιγότερο κοινό πολλαπλό ή LCM. Τι σημαίνει "κοινό;" Συνηθισμένο σε αυτήν την περίπτωση σημαίνει κοινόχρηστο ή κοινό ως πολλαπλάσιο δύο (ή περισσότερων) αριθμών. Για παράδειγμα, το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των 4 και 5 είναι 20. Και οι 4 και 5 είναι παράγοντες του 20.

Το λιγότερο κοινό πολλαπλό από δύο ή περισσότερους παρονομαστές ονομάζεται ο λιγότερο κοινός παρονομαστής ή LCD. Σε αυτήν την περίπτωση, το κοινό πολλαπλό εμφανίζεται στον παρονομαστή (ή στον κάτω αριθμό) ενός κλάσματος. Η οθόνη LCD πρέπει να υπολογίζεται κατά την προσθήκη ή αφαίρεση κλασμάτων. Η LCD δεν απαιτείται κατά τον πολλαπλασιασμό ή τη διαίρεση κλασμάτων.

Η LCD και η LCM απαιτούν την ίδια μαθηματική διαδικασία: Εύρεση ενός κοινού πολλαπλού από δύο (ή περισσότερους) αριθμούς. Η μόνη διαφορά μεταξύ LCD και LCM είναι ότι η LCD είναι η LCM στον παρονομαστή ενός κλάσματος. Έτσι, θα μπορούσε κανείς να πει ότι οι λιγότερο συνηθισμένοι παρονομαστές είναι μια ειδική περίπτωση με τα λιγότερο κοινά πολλαπλάσια.

Η εύρεση του λιγότερο κοινού πολλαπλού (LCM) από δύο ή περισσότερους αριθμούς μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας διαφορετικές προσεγγίσεις. Η παραγοντοποίηση προσφέρει μια γρήγορη και αποτελεσματική μέθοδο για την εύρεση του LCM δύο ή περισσότερων αριθμών.

​Έλεγχος παραγόντων​

Όταν αναζητάτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο, ξεκινήστε ελέγχοντας για να δείτε αν ένας αριθμός είναι πολλαπλός ή παράγοντας του άλλου αριθμού. Για παράδειγμα, όταν αναζητάτε το LCM των 3 και 12, παρατηρήστε ότι το 12 είναι πολλαπλάσιο του 3, επειδή 3 φορές 4 είναι 12 (3 × 4 = 12). Το LCM δεν μπορεί να είναι μικρότερο από 12, επειδή το 12 είναι ένας από τους παράγοντες. (Να θυμάστε ότι 12 φορές 1 ισούται με 12 [12 × 1 = 12].) Δεδομένου ότι τα 3 και 12 είναι και οι δύο παράγοντες 12, το LCM των 3 και 12 είναι 12. Ξεκινώντας με αυτόν τον έλεγχο παραγόντων θα λύσετε γρήγορα ορισμένα προβλήματα.

​Παραγοντοποίηση για εύρεση LCM​

Η χρήση παραγοντοποίησης γρήγορα και αποτελεσματικά βρίσκει το LCM δύο ή περισσότερων αριθμών. Εξασκηθείτε στη μέθοδο χρησιμοποιώντας απλούστερους αριθμούς. Για παράδειγμα, βρείτε το LCM των 5 και 12 με βάση κάθε αριθμό. Οι συντελεστές των 5 περιορίζονται στα 1 και 5, καθώς το 5 είναι ένας πρώτος αριθμός. Η παραγοντοποίηση του 12 ξεκινά με την κατανομή του 12 σε 3 × 4 ή 2 × 6. Η λύση του προβλήματος δεν εξαρτάται από το ζεύγος παραγόντων που αποτελεί το σημείο εκκίνησης.

Ξεκινώντας με τους παράγοντες 3 και 4, αξιολογήστε τους παράγοντες των 12 περαιτέρω. Δεδομένου ότι το 3 είναι ένας πρώτος αριθμός, το 3 δεν μπορεί να ληφθεί υπόψη περαιτέρω. Από την άλλη πλευρά, 4 παράγοντες σε 2 × 2, πρώτοι αριθμοί. Τώρα το 12 συντάσσεται σε 3 × 2 × 2 και το 5 σε 1 × 5. Ο συνδυασμός αυτών των παραγόντων αποδίδει (3 × 2 × 2) και (5 × 1). Δεδομένου ότι δεν υπάρχουν επαναλαμβανόμενοι παράγοντες, το LCM θα περιλαμβάνει όλους τους παράγοντες. Επομένως, το LCM των 5 και 12 θα είναι

Κοιτάξτε ένα άλλο παράδειγμα, βρείτε το LCM των 4 και 10. Ένα προφανές κοινό πολλαπλό είναι το 40, αλλά το 40 είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο; Χρησιμοποιήστε παραγοντοποίηση για έλεγχο. Πρώτον, το factoring 4 δίνει 2 × 2 και το factoring 10 δίνει 2 × 5. Ομαδοποίηση των παραγόντων των δύο αριθμών δείχνει (2 × 2) και (2 × 5). Δεδομένου ότι υπάρχει ένας κοινός αριθμός, και στις δύο παραγοντοποιήσεις, ένα από τα 2s μπορεί να εξαλειφθεί. Ο συνδυασμός των υπόλοιπων παραγόντων δίνει

Ο έλεγχος της απάντησης δείχνει ότι το 20 είναι πολλαπλάσιο των 4 (4 × 5) και 10 (10 × 2), οπότε το LCM των 4 και 10 ισούται με το 20.

Για να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε κλάσματα, τα κλάσματα πρέπει να μοιράζονται έναν κοινό παρονομαστή. Η εύρεση του λιγότερο κοινού παρονομαστή σημαίνει εύρεση του λιγότερο κοινού πολλαπλού των παρονομαστών των κλασμάτων. Ας υποθέσουμε ότι το πρόβλημα απαιτεί την προσθήκη (3/4) και (1/2). Αυτοί οι αριθμοί δεν μπορούν να προστεθούν άμεσα επειδή οι παρονομαστές, 4 και 2, δεν είναι οι ίδιοι. Δεδομένου ότι το 2 είναι συντελεστής 4, ο λιγότερο κοινός παρονομαστής είναι 4. Πολλαπλασιασμός

Το πρόβλημα γίνεται τώρα

Ένα ελαφρώς πιο δύσκολο πρόβλημα,

και πάλι απαιτεί την εύρεση του LCM των δύο παρονομαστών, αλλιώς γνωστών ως LCD. Η χρήση παραγοντοποίησης των 6 και 16 αποδίδει τα σύνολα παραγόντων των (2 × 3) και (2 × 2 × 2 × 2). Δεδομένου ότι το ένα 2 επαναλαμβάνεται και στα δύο σύνολα συντελεστών, ένα 2 αφαιρείται από τον υπολογισμό. Ο τελικός υπολογισμός για το LCM γίνεται

Η LCD για

είναι συνεπώς 48.