Ο όγκος ενός τρισδιάστατου στερεού είναι το ποσό του τρισδιάστατου χώρου που καταλαμβάνει. Ο όγκος ορισμένων απλών σχημάτων μπορεί να υπολογιστεί απευθείας όταν είναι γνωστή η επιφάνεια μιας από τις πλευρές της. Ο όγκος πολλών σχημάτων μπορεί επίσης να υπολογιστεί από τις επιφάνειες τους. Ο όγκος μερικών πιο περίπλοκων σχημάτων μπορεί να υπολογιστεί με ακέραιο λογισμό εάν η συνάρτηση που περιγράφει το εμβαδόν της είναι ενσωματωμένη.
Ας είναι \ "S \" ένα στερεό με δύο παράλληλες επιφάνειες που ονομάζονται \ "βάσεις. \" Όλες οι διατομές του στερεού που είναι παράλληλες με τις βάσεις πρέπει να έχουν την ίδια επιφάνεια με τις βάσεις. Ας είναι η περιοχή αυτών των διατομών και ας είναι η απόσταση που χωρίζει τα δύο επίπεδα στα οποία βρίσκονται οι βάσεις.
Υπολογίστε τον όγκο του \ "S \" ως V = bh. Τα πρίσματα και οι κύλινδροι είναι απλά παραδείγματα αυτού του τύπου στερεού, αλλά περιλαμβάνει επίσης πιο περίπλοκα σχήματα. Σημειώστε ότι ο όγκος αυτών των στερεών μπορεί εύκολα να υπολογιστεί ανεξάρτητα από το πόσο περίπλοκο είναι το σχήμα της βάσης, αρκεί να διατηρούνται οι συνθήκες στο Βήμα 1 και η επιφάνεια της βάσης.
Ας είναι το "P \" ένα στερεό που σχηματίζεται συνδέοντας μια βάση με ένα σημείο που ονομάζεται κορυφή. Αφήστε την απόσταση μεταξύ της κορυφής και της βάσης να είναι \ "h, \" και η απόσταση μεταξύ της βάσης και μιας διατομής που είναι παράλληλη με τη βάση να είναι \ "z. \" Επιπλέον, αφήστε το εμβαδόν της βάσης να είναι \ "b \" και το εμβαδόν της διατομής να \ "γ. \" Για όλες αυτές τις διατομές, (h - z) / h = γ / β.
Υπολογίστε τον όγκο του \ "P \" στο Βήμα 3 ως V = bh / 3. Οι πυραμίδες και οι κώνοι είναι απλά παραδείγματα αυτού του τύπου στερεού, αλλά περιλαμβάνει επίσης πιο περίπλοκα σχήματα. Η βάση μπορεί να έχει οποιοδήποτε σχήμα αρκεί να είναι γνωστή η επιφάνεια της και να διατηρούνται οι συνθήκες στο Βήμα 3.
Υπολογίστε τον όγκο μιας σφαίρας από την επιφάνεια του. Το εμβαδόν μιας σφαίρας είναι A = 4? R ^ 2. Με την ενσωμάτωση αυτής της λειτουργίας σε σχέση με το \ "r, \" λαμβάνουμε τον όγκο της σφαίρας ως V = 4/3? R ^ 3.