Αναρωτηθήκατε ποτέ πώς σχετίζονται οι τριγωνομετρικές λειτουργίες όπως το ημίτονο και το συνημίτονο; Και οι δύο χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό πλευρών και γωνιών σε τρίγωνα, αλλά η σχέση προχωρά πέρα από αυτό.Ταυτότητες συνάρτησηςδώστε μας συγκεκριμένους τύπους που δείχνουν πώς να μετατρέψετε μεταξύ ημιτονοειδούς και συνημίτονου, εφαπτομένου και συντεταγμένου, και διαχωριστικού και συντελεστή
TL; DR (Πάρα πολύ καιρό; Δεν διαβάστηκε)
Το ημίτονο της γωνίας ισούται με το συνημίτονο του συμπληρώματός του και το αντίστροφο. Αυτό ισχύει και για άλλες λειτουργίες.
Ένας εύκολος τρόπος για να θυμάστε ποιες λειτουργίες είναι συνδυασμοί είναι ότι είναι δύο συναρτήσεις trigΣυνεργασίεςαν ένα από αυτά έχει το πρόθεμα "co-" μπροστά του. Ετσι:
- ημιτονοειδές καισυνημιτονος ειναισυνλειτουργίες.
- εφαπτομένη καισυνεφαπτομένη είναισυνλειτουργίες.
- απόσπασμα καισυνείναι ασφαλήςσυνλειτουργίες.
Μπορούμε να υπολογίσουμε εμπρός και πίσω μεταξύ των συνδυασμών χρησιμοποιώντας αυτόν τον ορισμό: Η τιμή μιας συνάρτησης γωνίας ισούται με την τιμή της συνάρτησης του συμπληρώματος.
Αυτό ακούγεται περίπλοκο, αλλά αντί να μιλάμε για την αξία μιας συνάρτησης γενικά, ας χρησιμοποιήσουμε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα. οημίτονομιας γωνίας ισούται με τοσυνημίτονοτου συμπληρώματός του. Και το ίδιο ισχύει και για άλλες συντεταγμένες: Η εφαπτομένη μιας γωνίας ισούται με τη συντεταγμένη του συμπληρώματός της.
Θυμηθείτε: Δύο γωνίες είναισυμπληρώνειαν προσθέσουν έως και 90 μοίρες.
Ταυτότητες συντελεστών σε βαθμούς:
(Παρατηρήστε ότι 90 ° -Χμας δίνει ένα συμπλήρωμα γωνίας.)
\ sin (x) = \ cos (90 ° - x) \\ \ cos (x) = \ sin (90 ° - x) \\ \ tan (x) = \ cot (90 ° - x) \\ \ cot (x) = \ tan (90 ° - x) \\ \ sec (x) = \ csc (90 ° - x) \\ \ csc (x) = \ sec (90 ° - x)
Ταυτότητες Συνεργασίας σε Ακτίνια
Να θυμάστε ότι μπορούμε επίσης να γράψουμε πράγματα με όρουςακτίνια, η οποία είναι η μονάδα SI για μέτρηση γωνιών. Ενενήντα βαθμοί είναι ίδιοι με τα ακτινικά π / 2, έτσι μπορούμε επίσης να γράψουμε τις ταυτότητες της συνάρτησης όπως αυτή:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ tan (x) = \ cot \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ cot (x) = \ tan \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ sec (x) = \ csc \ bigg (\ frac { π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ csc (x) = \ sec \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
Απόδειξη ταυτότητας συνάρτησης
Όλα αυτά ακούγονται ωραία, αλλά πώς μπορούμε να αποδείξουμε ότι αυτό ισχύει; Το να το δοκιμάσετε μόνοι σας σε μερικά παραδείγματα τριγώνων μπορεί να σας βοηθήσει να αισθανθείτε σίγουροι γι 'αυτό, αλλά υπάρχει και μια πιο αυστηρή αλγεβρική απόδειξη. Ας αποδείξουμε τις ταυτότητες της συνάρτησης για το ημίτονο και το συνημίτονο. Θα δουλέψουμε σε ακτίνια, αλλά είναι το ίδιο με τη χρήση βαθμών.
Απόδειξη:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
Πρώτα απ 'όλα, επιστρέψτε στη μνήμη σας σε αυτόν τον τύπο, γιατί θα το χρησιμοποιήσουμε στην απόδειξή μας:
\ cos (A - B) = \ cos (A) \ cos (B) + \ sin (A) \ sin (B)
Το έπιασα? ΕΝΤΑΞΕΙ. Τώρα ας αποδείξουμε: αμαρτία (Χ) = cos (π / 2 - x).
Μπορούμε να ξαναγράψουμε cos (π / 2 -Χ) σαν αυτό:
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) + \ sin \ bigg (\ frac {π } {2} \ bigg) \ sin (x) \\ \, \\ \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = 0 × \ cos (x) + 1 × \ sin ( Χ)
γιατί ξέρουμε
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ text {και} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
Έτσι
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) = \ sin (x)
Τα-ντα! Τώρα ας το αποδείξουμε με συνημίτονο!
Απόδειξη:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
Μια άλλη έκρηξη από το παρελθόν: Θυμάστε αυτόν τον τύπο;
\ sin (A - B) = \ sin (A) \ cos (B) - \ cos (A) \ sin (B)
Πρόκειται να το χρησιμοποιήσουμε. Τώρα ας αποδείξουμε:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
Μπορούμε να ξαναγράψουμε την αμαρτία (π / 2 -Χ) σαν αυτό:
\ begin {aligned} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) & = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) - \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ sin (x) \\ & = 1 × \ cos (x) - 0 × \ sin (x) \ τέλος {στοίχιση}
γιατί ξέρουμε
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ text {και} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
Λοιπόν
\ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos (x)
Υπολογιστής συνάρτησης
Δοκιμάστε μερικά παραδείγματα που δουλεύουν μόνοι σας. Αλλά αν κολλήσετε, το Math Celebrity διαθέτει μια αριθμομηχανή συνάρτησης που εμφανίζει βήμα-προς-βήμα λύσεις σε προβλήματα συνδυασμένης λειτουργίας.
Καλός υπολογισμός!