Τι είναι το εύρος στα μαθηματικά;

Έχετε δύο διαφορετικούς τρόπους για να ορίσετε το εύρος στα μαθηματικά. Εάν κάνετε στατιστικά στοιχεία, το "εύρος" σημαίνει συνήθως τη διαφορά μεταξύ των υψηλότερων και των χαμηλότερων τιμών σε ένα σύνολο δεδομένων. Εάν κάνετε άλγεβρα ή λογισμό, το "εύρος" θεωρείται ότι είναι το σύνολο πιθανών αποτελεσμάτων ή τιμών εξόδου μιας συνάρτησης.

Εάν σας ζητηθεί να βρείτε το εύρος στα στατιστικά στοιχεία, απλώς σας ζητείται να βρείτε τις υψηλότερες και χαμηλότερες τιμές στο σύνολο δεδομένων σας και, στη συνέχεια, να βρείτε τη διαφορά μεταξύ τους. Κάθε φορά που ακούτε "διαφορά", είναι ένδειξη ότι πρόκειται να αφαιρέσετε, οπότε ο τύπος που θα χρησιμοποιήσετε είναι:

• Μην ξεχάσετε να συμπεριλάβετε μονάδες (πόδια, ίντσες, λίβρες, γαλόνια κ.λπ.) που μπορεί να προσαρτηθούν στο σύνολο δεδομένων σας.

​Παράδειγμα 1:Φανταστείτε ότι ρίχνετε μια ματιά στο σημειωματάριο του δασκάλου σας και έχετε δει ότι μέχρι στιγμής, τα ποσοστά βαθμού των μαθητών στην τάξη είναι {95, 87, 62, 72, 98, 91, 66, 75}. Οι σγουρές αγκύλες χρησιμοποιούνται συχνά για να περικλείουν ένα σύνολο δεδομένων, οπότε γνωρίζετε ότι όλα μέσα στα αγκύλια ανήκουν μαζί.

Ποιο είναι το εύρος αυτού του συνόλου δεδομένων ή, με άλλα λόγια, το εύρος των βαθμών των μαθητών; Αρχικά, προσδιορίστε το υψηλότερο σημείο δεδομένων (98) και το χαμηλότερο σημείο δεδομένων (62). Στη συνέχεια, αφαιρέστε τη χαμηλότερη τιμή από την υψηλότερη τιμή:

Έτσι, το εύρος αυτού του συγκεκριμένου συνόλου δεδομένων είναι 36 ποσοστιαίες μονάδες.

Όταν αρχίσετε να μελετάτε συναρτήσεις στα μαθηματικά, θα συναντήσετε έναν δεύτερο ορισμό του εύρους. Για να κατανοήσετε το εύρος, βοηθά να σκεφτείτε τις λειτουργίες ως μικρές μαθηματικές μηχανές. Το σύνολο τιμών που μπορείτε να βάλετε στο μηχάνημα μαθηματικών ονομάζεται τομέας (μια άλλη πολύ σημαντική ιδέα). Το σύνολο των πιθανών αποτελεσμάτων, μόλις εκκινήσετε αυτές τις τιμές μέσω της μηχανής μαθηματικών, ονομάζεταικωδικοποίηση. Και το σύνολο των πραγματικών αποτελεσμάτων ή αποτελεσμάτων που λαμβάνετε ονομάζεταιεύρος​.

Υπάρχουν μερικές σημαντικές σχέσεις μεταξύ εύρους και τομέα που πρέπει να κατανοήσετε. Πρώτον, κάθε τιμή στον τομέα αντιστοιχεί σε μία μόνο τιμή στο εύρος της συνάρτησής σας. Εάν οποιεσδήποτε τιμές στον τομέα αντιστοιχούν σε περισσότερες από μία τιμές στο εύρος, ενδέχεται να έχετε σχέση μεταξύ των δύο συνόλων δεδομένων, αλλά δεν ταξινομείται τεχνικά ως συνάρτηση. Ωστόσο, είναι δυνατόν για περισσότερες από μία τιμές τομέα να αντιστοιχούν στην ίδια τιμή στο εύρος αυτής της συνάρτησης.

Ένας από τους καλύτερους τρόπους για να το κατανοήσετε αυτό είναι να φανταστείτε τη δική σας μαθηματική τάξη. Οι μαθητές στην τάξη αντιπροσωπεύουν τον τομέα (ή τις πληροφορίες που πηγαίνουν στη συνάρτηση), ενώ η ίδια η τάξη είναι η συνάρτηση ή "μαθηματικά μηχάνημα. "Οι τελικοί βαθμοί σας αντιπροσωπεύουν το εύρος, ή αυτό που παίρνετε μετά την εκκίνηση των στοιχείων του τομέα (μαθητές) μέσω της συνάρτησης (μαθηματικά τάξη).

Όταν κοιτάξετε αυτό το παράδειγμα, μπορείτε να δείτε διαισθητικά ότι κάθε μαθητής θα λάβει μόνο μια τελική τάξη μόλις τελειώσει το μάθημα. Κάθε τιμή στον τομέα αντιστοιχεί σε μία μόνο τιμή στο εύρος. Ωστόσο, είναι δυνατόν για περισσότερους από έναν μαθητές να έχουν τον ίδιο βαθμό. Για παράδειγμα, μπορεί να υπάρχουν δύο ή τρεις μαθητές στην τάξη σας που μελετούσαν πολύ σκληρά και κατάφεραν να πάρουν 96 τοις εκατό ως τελική τους τάξη. Πολλαπλές τιμές στον τομέα μπορούν να αντιστοιχούν σε μία μόνο τιμή στο εύρος.

​Παράδειγμα 2:Φανταστείτε ότι ασχολείστε με τη λειτουργίαΧ​², με έναν τομέα περιορισμένο σε {−3, −2, −1, 1, 2, 3, 4}. Ποιο είναι το εύρος αυτής της λειτουργίας;

Αν και θα μάθετε πιο προηγμένους τρόπους εύρεσης του εύρους αργότερα, προς το παρόν, ο απλούστερος τρόπος εύρεσης το εύρος αυτής της συνάρτησης είναι να εφαρμόσετε τη συνάρτηση σε κάθε στοιχείο του τομέα και να παρακολουθείτε τα αποτελέσματά σας. Με άλλα λόγια, εισαγάγετε κάθε στοιχείο του τομέα, ένα κάθε φορά, ωςΧστη συνάρτησηΧ​². Αυτό σας δίνει ένα σύνολο αποτελεσμάτων:

Αλλά όπως μπορείτε να δείτε, ορισμένα στοιχεία επαναλαμβάνονται εκεί. Υπενθυμίζοντας το παράδειγμα των μαθηματικών βαθμών ως συνάρτηση, είναι εντάξει. περισσότεροι από ένας μαθητές μπορούν να καταλήξουν στον ίδιο βαθμό ή περισσότερα από ένα στοιχεία του τομέα μπορούν να "δείξουν" το ίδιο στοιχείο στο εύρος. Αλλά δεν θέλετε να καταγράψετε τα επαναλαμβανόμενα στοιχεία όταν δίνετε το εύρος. Έτσι, η απάντησή σας είναι απλώς: