Απλοποιήστε τις συγκρίσεις συνόλων αριθμών, ειδικά μεγάλων συνόλων αριθμών, υπολογίζοντας τις κεντρικές τιμές χρησιμοποιώντας μέση τιμή, λειτουργία και διάμεσο. Χρησιμοποιήστε τα εύρη και τις τυπικές αποκλίσεις των συνόλων για να εξετάσετε τη μεταβλητότητα των δεδομένων.
Ο μέσος όρος προσδιορίζει τη μέση τιμή του συνόλου των αριθμών. Για παράδειγμα, εξετάστε το σύνολο δεδομένων που περιέχει τις τιμές 20, 24, 25, 36, 25, 22, 23.
Για να βρείτε το μέσο όρο, χρησιμοποιήστε τον τύπο: Το μέσο ισούται με το άθροισμα των αριθμών στο σύνολο δεδομένων διαιρούμενο με τον αριθμό τιμών στο σύνολο δεδομένων. Σε μαθηματικούς όρους:
\ text {Mean} = \ frac {\ text {άθροισμα όλων των όρων}} {\ text {πόσους όρους ή τιμές στο σύνολο}}
Ο διάμεσος προσδιορίζει το μέσο ή τη μεσαία τιμή ενός συνόλου αριθμών.
Βάλτε τους αριθμούς σε σειρά από το μικρότερο στο μεγαλύτερο. Χρησιμοποιήστε το παράδειγμα συνόλου τιμών: 20, 24, 25, 36, 25, 22, 23. Με τη σειρά, το σετ γίνεται: 20, 22, 23, 24, 25, 25, 36.
Εάν το σύνολο των αριθμών έχει ζυγό αριθμό τιμών, υπολογίστε τον μέσο όρο των δύο κεντρικών τιμών. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι το σύνολο των αριθμών περιέχει τις τιμές 22, 23, 25, 26. Η μέση βρίσκεται μεταξύ 23 και 25. Προσθέτοντας 23 και 25 αποδόσεις 48. Ο διαχωρισμός 48 με δύο δίνει μια μέση τιμή 24.
Η λειτουργία προσδιορίζει την πιο κοινή τιμή ή τιμές στο σύνολο δεδομένων. Ανάλογα με τα δεδομένα, ενδέχεται να υπάρχουν μία ή περισσότερες λειτουργίες ή καθόλου λειτουργία.
Όπως η εύρεση της μέσης τιμής, παραγγείλετε το σύνολο δεδομένων από το μικρότερο στο μεγαλύτερο. Στο σύνολο παραδειγμάτων, οι ταξινομημένες τιμές γίνονται: 20, 22, 23, 24, 25, 25, 36.
Λειτουργία εμφανίζεται όταν οι τιμές επαναλαμβάνονται. Στο σύνολο παραδειγμάτων, η τιμή 25 εμφανίζεται δύο φορές. Δεν επαναλαμβάνονται άλλοι αριθμοί. Επομένως, η λειτουργία είναι η τιμή 25.
Σε ορισμένα σύνολα δεδομένων, εμφανίζονται περισσότερες από μία λειτουργίες. Το σύνολο δεδομένων 22, 23, 23, 24, 27, 27, 29 περιέχει δύο τρόπους, ο ένας σε 23 και 27. Άλλα σύνολα δεδομένων μπορεί να έχουν περισσότερους από δύο τρόπους, μπορεί να έχουν τρόπους με περισσότερους από δύο αριθμούς (όπως 23, 23, 24, 24, 24, 28, 29: η λειτουργία ισούται με 24) ή μπορεί να μην έχει καθόλου λειτουργίες (όπως 21, 23, 24, 25, 26, 27, 29). Η λειτουργία μπορεί να εμφανιστεί οπουδήποτε στο σύνολο δεδομένων, όχι μόνο στη μέση.
Το εύρος δείχνει τη μαθηματική απόσταση μεταξύ των χαμηλότερων και των υψηλότερων τιμών στο σύνολο δεδομένων. Το εύρος μετρά τη μεταβλητότητα του συνόλου δεδομένων. Ένα ευρύ φάσμα υποδηλώνει μεγαλύτερη μεταβλητότητα στα δεδομένα, ή ίσως ένα απλό σημείο μακριά από τα υπόλοιπα δεδομένα. Οι ακραίες τιμές μπορεί να παρακάμπτουν, ή να μετατοπίζουν, τη μέση τιμή που να επηρεάζει την ανάλυση δεδομένων.
Στο σύνολο δείγματος, η υψηλή τιμή δεδομένων 36 υπερβαίνει την προηγούμενη τιμή, 25, κατά 11. Αυτή η τιμή φαίνεται ακραία, δεδομένων των άλλων τιμών του συνόλου. Η τιμή του 36 μπορεί να είναι ένα ακραίο σημείο δεδομένων.
Η τυπική απόκλιση μετρά τη μεταβλητότητα του συνόλου δεδομένων. Όπως το εύρος, μια μικρότερη τυπική απόκλιση δείχνει λιγότερη μεταβλητότητα.
Η εύρεση τυπικής απόκλισης απαιτεί άθροισμα της τετραγωνικής διαφοράς μεταξύ κάθε σημείου δεδομένων και του μέσου [∑ (Χ − µ)2], προσθέτοντας όλα τα τετράγωνα, διαιρώντας αυτό το άθροισμα με ένα μικρότερο από τον αριθμό των τιμών (Ν- 1), και τέλος τον υπολογισμό της τετραγωνικής ρίζας του μερίσματος. Σε έναν τύπο, αυτό είναι:
Υπολογίστε τον μέσο όρο με την προσθήκη όλων των τιμών σημείου δεδομένων και, στη συνέχεια, διαιρώντας με τον αριθμό των σημείων δεδομένων. Στο σύνολο δεδομένων δείγματος,
Διαιρέστε το άθροισμα, 175, με τον αριθμό των σημείων δεδομένων, 7 ή
Στη συνέχεια, αφαιρέστε το μέσο όρο από κάθε σημείο δεδομένων και, στη συνέχεια, τετραγωνίστε κάθε διαφορά. Ο τύπος μοιάζει με αυτό:
όπου ∑ σημαίνει άθροισμα,ΧΕγώ αντιπροσωπεύει κάθε τιμή συνόλου δεδομένων καιµαντιπροσωπεύει τη μέση τιμή. Συνεχίζοντας με το σύνολο παραδειγμάτων, οι τιμές γίνονται:
20-25 = -5 \ κείμενο {και} -5 ^ 2 = 25 \\ 24-25 = -1 \ κείμενο {και} -1 ^ 2 = 1 \\ 25-25 = 0 \ κείμενο {και} 0 ^ 2 = 0 \\ 36-25 = 11 \ text {και} 11 ^ 2 = 121 \\ 25-25 = 0 \ text {και} 0 ^ 2 = 0 \\ 22-25 = -3 \ κείμενο {και} -3 ^ 2 = 9 \\ 23- 25 = -2 \ κείμενο {και} -2^2=4
Διαιρέστε το άθροισμα των τετραγωνικών διαφορών κατά ένα μικρότερο από τον αριθμό των σημείων δεδομένων. Το παράδειγμα του συνόλου δεδομένων έχει 7 τιμές, έτσιΝ- 1 ισούται με 7 - 1 = 6. Το άθροισμα των τετραγώνων διαφορών, 160, διαιρούμενο με 6 ισούται με περίπου 26,6667.
Υπολογίστε την τυπική απόκλιση βρίσκοντας την τετραγωνική ρίζα της διαίρεσης μεΝ− 1. Στο παράδειγμα, η τετραγωνική ρίζα του 26.6667 ισούται με περίπου 5.164. Επομένως, η τυπική απόκλιση ισούται με περίπου 5.164.
Η τυπική απόκλιση βοηθά στην αξιολόγηση των δεδομένων. Οι αριθμοί στο σύνολο δεδομένων που εμπίπτουν σε μια τυπική απόκλιση του μέσου είναι μέρος του συνόλου δεδομένων. Οι αριθμοί που δεν εμπίπτουν σε δύο τυπικές αποκλίσεις είναι ακραίες τιμές ή ακραίες τιμές. Στο σύνολο παραδειγμάτων, η τιμή 36 βρίσκεται περισσότερες από δύο τυπικές αποκλίσεις από το μέσο όρο, οπότε το 36 είναι μια ακραία τιμή. Οι ακραίες τιμές ενδέχεται να αντιπροσωπεύουν λανθασμένα δεδομένα ή μπορεί να προτείνουν απρόβλεπτες περιστάσεις και θα πρέπει να λαμβάνονται προσεκτικά υπόψη κατά την ερμηνεία των δεδομένων.