Πώς να προσδιορίσετε έναν άγνωστο εκθέτη

Εάν δείτε τις εκφράσεις 3² και 5³, θα μπορούσατε να ανακοινώσετε με άνθηση ότι αυτά σημαίνουν "τρία τετράγωνα" και "πέντε κύβους" και μπορείτε να αναζητήσετε ισοδύναμους αριθμούς χωρίς εκθέτες, οι αριθμοί που αντιπροσωπεύονται από τα αποθέματα πάνω δεξιά πάνω. Αυτοί οι αριθμοί σε αυτήν την περίπτωση είναι 9 και 125.

Αλλά τι γίνεται αν, αντί, ας πούμε, μια απλή εκθετική συνάρτηση, όπως y = x ³, αντ 'αυτού πρέπει να λύσετε μια εξίσωση όπως y = 3^Χ. Εδώ το x, η εξαρτημένη μεταβλητή, εμφανίζεται ως εκθέτης. Υπάρχει τρόπος να τραβήξετε αυτή τη μεταβλητή από την πέρκα της για να την αντιμετωπίσετε μαθηματικά πιο εύκολα;

Στην πραγματικότητα υπάρχει, και η απάντηση βρίσκεται στο φυσικό συμπλήρωμα των εκθετών, που είναι διασκεδαστικές και χρήσιμες ποσότητες γνωστές ως λογάριθμοι.

Ενα εκθέτης, ονομάζεται επίσης a εξουσία, είναι ένας συμπιεσμένος τρόπος έκφρασης επαναλαμβανόμενων πολλαπλασιασμών ενός αριθμού από μόνο του. 4⁵ = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1,024.

• Οποιοσδήποτε αριθμός αυξάνεται με ισχύ 1 διατηρεί την ίδια τιμή. οποιοσδήποτε αριθμός με εκθετικό 0 είναι ίσος με 1. Για παράδειγμα, 72
  ¹ = 72; 72⁰ = 1.

Οι εκθέτες μπορεί να είναι αρνητικοί, παράγοντας τη σχέση Χ^{− Ν}= 1 / (x^ν). Μπορούν επίσης να εκφραστούν ως κλάσματα, π.χ. 2^(5/3). Εάν εκφράζονται ως κλάσματα, τόσο ο αριθμητής όσο και ο παρονομαστής πρέπει να είναι ακέραιοι αριθμοί.

Οι λογάριθμοι ή "logs" μπορούν να θεωρηθούν ως εκθέτες που εκφράζονται ως κάτι διαφορετικό από μια δύναμη. Αυτό πιθανότατα δεν βοηθά πολύ, οπότε ίσως ένα παράδειγμα ή δύο.

Στην έκφραση 10³ = 1,000, ο αριθμός 10 είναι το βάση, και ανεβαίνει στην τρίτη δύναμη (ή δύναμη από τρία). Μπορείτε να το εκφράσετε ως, "η βάση του 10 που ανεβαίνει στην τρίτη ισχύ ισούται με 1.000."

Ένα παράδειγμα λογάριθμου είναι κούτσουρο₁₀(1,000) = 3. Σημειώστε ότι οι αριθμοί και οι σχέσεις τους μεταξύ τους είναι οι ίδιοι με το προηγούμενο παράδειγμα, αλλά έχουν μετακινηθεί. Με άλλα λόγια, αυτό σημαίνει, "η βάση καταγραφής 10 των 1.000 ισούται με 3."

Η ποσότητα στα δεξιά είναι η δύναμη στην οποία πρέπει να ανεβεί η βάση του 10 για να ισούται με διαφωνία, ή εισαγωγή του αρχείου καταγραφής, η τιμή σε παρένθεση (στην περίπτωση αυτή 1.000). Αυτή η τιμή πρέπει να είναι θετική, επειδή η βάση - η οποία μπορεί να είναι αριθμός διαφορετική από 10, αλλά θεωρείται ότι είναι 10 όταν παραλείπεται, π.χ. "log 4" - είναι επίσης πάντα θετική.

Λοιπόν, πώς μπορείτε να εργαστείτε εύκολα ανάμεσα σε αρχεία καταγραφής και εκθέτες; Μερικοί κανόνες σχετικά με τη συμπεριφορά των αρχείων καταγραφής μπορούν να ξεκινήσουν για εκθετικά προβλήματα.

Με τις παραπάνω πληροφορίες, είστε έτοιμοι να δοκιμάσετε να λύσετε έναν εκθέτη σε μια εξίσωση.

Παράδειγμα: Εάν 50 = 4^Χ, τι είναι x;

Εάν μεταφέρετε το αρχείο καταγραφής στη βάση 10 κάθε πλευράς και παραλείψετε τη ρητή αναγνώριση της βάσης, αυτό γίνεται log 50 = log 4^Χ. Από το παραπάνω πλαίσιο, γνωρίζετε ότι το ημερολόγιο 4^Χ = x log 4. Αυτό σας αφήνει

log 50 = x log 4 ή x = (log 50) / (log 4).

Χρησιμοποιώντας την αριθμομηχανή ή την ηλεκτρονική συσκευή της επιλογής σας, διαπιστώνετε ότι η λύση είναι (1.689 / 0.602) = 2.82.

Οι ίδιοι κανόνες ισχύουν όταν είναι η βάση μι, το λεγομενο φυσικός λογάριθμος, η οποία έχει τιμή περίπου 2.7183. Θα πρέπει να έχετε και ένα κουμπί για αυτήν την αριθμομηχανή. Αυτή η τιμή παίρνει και τη δική της σημείωση: log_μιΤο x είναι γραμμένο απλά "ln x."

• Η συνάρτηση y = μι^Χ i, με e όχι μια μεταβλητή αλλά μια σταθερά με αυτήν την τιμή, είναι η μόνη συνάρτηση με κλίση ίση με το δικό της ύψος για όλα τα x και y.
  
• Όπως το ημερολόγιο₁₀10^Χ = x, ln e^Χ = x για όλα τα x.

Παράδειγμα: Λύστε την εξίσωση 16 = e^2.7χ.

Όπως παραπάνω, ln 16 = ln e^2.7χ = 2.7χ.

ln 16 = 2.77 = 2.7x, έτσι x = 2/77 / 2.7 = 1.03.