Η ικανότητα υπολογισμού της μέσης ή μέσης τιμής μιας ομάδας αριθμών είναι σημαντική σε κάθε πτυχή της ζωής. Εάν είστε καθηγητής, ορίζετε βαθμούς επιστολών στις βαθμολογίες των εξετάσεων και παραδοσιακά δίνετε βαθμό Β- σε α βαθμολογία στο μέσο του πακέτου, τότε πρέπει σαφώς να ξέρετε πώς φαίνεται το μέσο του πακέτου αριθμητικά. Χρειάζεστε επίσης έναν τρόπο για να προσδιορίσετε τις βαθμολογίες ως outliers, ώστε να μπορείτε να προσδιορίσετε πότε κάποιος αξίζει ένα A ή A + (προφανώς εκτός τέλειων βαθμολογιών), καθώς και τι αξίζει μια αποτυχημένη βαθμολογία.
Για αυτόν και σχετικούς λόγους, τα πλήρη δεδομένα σχετικά με τους μέσους όρους περιλαμβάνουν πληροφορίες σχετικά με το πόσο στενά συγκεντρώνονται γύρω από τη μέση βαθμολογία των βαθμολογιών γενικά. Αυτές οι πληροφορίες μεταφέρονται χρησιμοποιώντας τυπική απόκλιση και, αντίστοιχα, το διαφορά στατιστικού δείγματος.
Μέτρα μεταβλητότητας
Έχετε σχεδόν σίγουρα ακούσει ή δει τον όρο "μέσος όρος" που χρησιμοποιείται σε σχέση με ένα σύνολο αριθμών ή σημείων δεδομένων και πιθανώς έχετε μια ιδέα για το τι μεταφράζεται στην καθημερινή γλώσσα. Για παράδειγμα, αν διαβάσετε ότι το μέσο ύψος μιας αμερικανικής γυναίκας είναι περίπου 5 '4 ", καταλήγετε αμέσως σε αυτό "μέσος όρος" σημαίνει "τυπικό" και ότι περίπου οι μισές γυναίκες στις Ηνωμένες Πολιτείες είναι ψηλότερες από αυτήν, ενώ περίπου οι μισές είναι κοντύτερος.
Μαθηματικά, μέση τιμή και σημαίνω είναι ακριβώς το ίδιο πράγμα: Προσθέτετε όλες τις τιμές σε ένα σύνολο και διαιρείτε με τον αριθμό των στοιχείων στο σύνολο. Για παράδειγμα, εάν μια ομάδα 25 βαθμολογιών σε μια δοκιμή 10 ερωτήσεων κυμαίνεται από 3 έως 10 και προσθέσει έως το 196, η μέση (μέση) βαθμολογία είναι 196/25 ή 7,84.
Η διάμεση τιμή είναι η τιμή μέσου σημείου σε ένα σύνολο, ο αριθμός που οι μισές από τις τιμές βρίσκονται πάνω και οι μισές από τις τιμές βρίσκονται παρακάτω. Είναι συνήθως κοντά στον μέσο όρο (μέσος όρος) αλλά δεν είναι το ίδιο πράγμα.
Τύπος παραλλαγής
Αν παρακολουθήσετε ένα σύνολο 25 βαθμολογιών όπως τα παραπάνω και δεν βλέπετε τίποτα άλλο παρά τιμές 7, 8 και 9, είναι λογικό ότι ο μέσος όρος πρέπει να είναι περίπου 8. Τι γίνεται όμως αν δεν βλέπετε τίποτα άλλο παρά σκορ 6 και 10; Ή πέντε σκορ 0 και 20 σκορ 9 ή 10; Όλα αυτά μπορούν να παράγουν τον ίδιο μέσο όρο.
Η διακύμανση είναι ένα μέτρο του πόσο ευρέως διανέμονται τα σημεία σε ένα σύνολο δεδομένων σχετικά με το μέσο όρο. Για να υπολογίσετε τη διακύμανση με το χέρι, παίρνετε την αριθμητική διαφορά μεταξύ κάθε σημείου δεδομένων και του μέσου όρου, τετράγωνα, προσθέστε το άθροισμα των τετραγώνων και διαιρέστε το αποτέλεσμα με ένα μικρότερο από τον αριθμό των σημείων δεδομένων στο δείγμα. Ένα παράδειγμα αυτού παρέχεται αργότερα. Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε προγράμματα όπως το Excel ή ιστότοπους όπως Rapid Tables (ανατρέξτε στην ενότητα Πόροι για επιπλέον ιστότοπους).
Η διακύμανση δηλώνεται με το σ2, ένα ελληνικό "σίγμα" με εκθέτη 2.
Τυπική απόκλιση
ο τυπική απόκλιση ενός δείγματος είναι απλώς η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης. Ο λόγος που τα τετράγωνα χρησιμοποιούνται κατά τον υπολογισμό της διακύμανσης είναι ότι αν προσθέσετε απλά τις ατομικές διαφορές μεταξύ του μέσου όρου και του καθενός μεμονωμένο σημείο δεδομένων, το άθροισμα είναι πάντα μηδέν επειδή μερικές από αυτές τις διαφορές είναι θετικές και μερικές είναι αρνητικές και ακυρώνουν η μία την άλλη έξω. Το τετράγωνο κάθε όρου εξαλείφει αυτήν την παγίδα.
Πρόβλημα δειγματοληψίας και τυπικής απόκλισης
Ας υποθέσουμε ότι σας έχουν δοθεί τα 10 σημεία δεδομένων:
4, 7, 10, 5, 7, 6, 9, 8, 5, 9
Βρείτε το μέσο όρο, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση.
Αρχικά, προσθέστε τις 10 τιμές μαζί και διαιρέστε με 10 για να πάρετε το μέσο όρο (μέσος όρος):
70/10 = 7.0
Για να λάβετε τη διακύμανση, τετραγωνίστε τη διαφορά μεταξύ κάθε σημείου δεδομένων και του μέσου όρου, προσθέστε τα μαζί και διαιρέστε το αποτέλεσμα με (10 - 1) ή 9:
- 7 - 4 = 3; 32 = 9
- 7 - 7 = 0; 02 = 0
- 7 - 10 = -3; (-3)2 = 9.. .
9 + 0 + 9 +... + 4 = 36
σ2= 36/9 = 4.0
Η τυπική απόκλιση σ είναι απλώς η τετραγωνική ρίζα των 4.0 ή 2.0.