Η άλγεβρα είναι γεμάτη από επαναλαμβανόμενα μοτίβα που θα μπορούσατε να επεξεργαστείτε με αριθμητική κάθε φορά. Αλλά επειδή αυτά τα μοτίβα είναι τόσο συνηθισμένα, υπάρχει συνήθως ένας τύπος κάποιας μορφής για να διευκολυνθούν οι υπολογισμοί. Ο κύβος ενός διωνύμου είναι ένα εξαιρετικό παράδειγμα: Εάν έπρεπε να το επεξεργαστείτε κάθε φορά, θα ξοδεύατε πολύ χρόνο να δουλεύετε πάνω από μολύβι και χαρτί. Αλλά μόλις ξέρετε τον τύπο για την επίλυση αυτού του κύβου (και μερικά εύχρηστα κόλπα για να το θυμάστε), η εύρεση της απάντησής σας είναι τόσο απλή όσο η σύνδεση των σωστών όρων στις σωστές μεταβλητές υποδοχές.
TL; DR (Πάρα πολύ καιρό; Δεν διαβάστηκε)
Ο τύπος για τον κύβο ενός διωνύμου (ένα + σι) είναι:
(ένα + σι)3 = ένα3 + 3_α_2σι + 3_αβ_2 + σι3
Υπολογισμός του κύβου ενός διωνύμου
Δεν χρειάζεται να πανικοβληθείτε όταν δείτε ένα πρόβλημα όπως (α + β)3 μπροστά σου. Μόλις το χωρίσετε στα γνωστά του στοιχεία, θα αρχίσει να μοιάζει με πιο οικεία μαθηματικά προβλήματα που έχετε κάνει στο παρελθόν.
Σε αυτήν την περίπτωση, βοηθά να το θυμάστε αυτό
(α + β)3
είναι το ίδιο με
(a + b) (a + b) (a + b), το οποίο θα πρέπει να φαίνεται πολύ πιο οικείο.
Αλλά αντί να επεξεργάζεστε τα μαθηματικά από το μηδέν κάθε φορά, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη "συντόμευση" ενός τύπου που αντιπροσωπεύει την απάντηση που θα λάβετε. Εδώ είναι ο τύπος για τον κύβο ενός διωνύμου:
(α + β)3 = α3 + 3α2b + 3ab2 + β3
Για να χρησιμοποιήσετε τον τύπο, προσδιορίστε ποιοι αριθμοί (ή μεταβλητές) καταλαμβάνουν τις υποδοχές για "a" και "b" στην αριστερή πλευρά του εξίσωση και, στη συνέχεια, αντικαταστήστε τους ίδιους αριθμούς (ή μεταβλητές) στις υποδοχές "a" και "b" στη δεξιά πλευρά του τύπος.
Παράδειγμα 1: Λύσει (x + 5)3
Οπως βλέπεις, Χ καταλαμβάνει την υποδοχή "a" στην αριστερή πλευρά του τύπου σας και 5 καταλαμβάνει την υποδοχή "b". Αντικατάσταση Χ και το 5 στη δεξιά πλευρά του τύπου σας δίνει:
Χ3 + 3x25 + 3x52 + 53
Μια μικρή απλοποίηση σας φέρνει πιο κοντά σε μια απάντηση:
Χ3 + 3 (5) x2 + 3 (25) x + 125
Και τέλος, μόλις απλοποιήσετε όσο μπορείτε:
Χ3 + 15χ2 + 75χ + 125
Τι γίνεται με την αφαίρεση;
Δεν χρειάζεστε διαφορετική φόρμουλα για να λύσετε ένα πρόβλημα όπως (ε - 3)3. Αν το θυμάστε αυτό y - 3 είναι το ίδιο με y + (-3), μπορείτε απλά να ξαναγράψετε το πρόβλημα [y + (-3)]3 και λύστε το χρησιμοποιώντας τον οικείο τύπο.
Παράδειγμα 2: Λύσει (ε - 3)3
Όπως έχει ήδη συζητηθεί, το πρώτο σας βήμα είναι να ξαναγράψετε το πρόβλημα [y + (-3)]3.
Στη συνέχεια, θυμηθείτε τον τύπο σας για τον κύβο ενός διωνύμου:
(α + β)3 = α3 + 3α2b + 3ab2 + β3
Στο πρόβλημά σας, ε καταλαμβάνει την υποδοχή "a" στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης και -3 καταλαμβάνει την υποδοχή "b". Αντικαταστήστε αυτές στις κατάλληλες υποδοχές στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης, προσέχοντας με τις παρενθέσεις σας για να διατηρήσετε το αρνητικό σημάδι μπροστά από το -3. Αυτό σας δίνει:
ε3 + 3ε2(-3) + 3y (-3)2 + (-3)3
Τώρα ήρθε η ώρα να απλοποιήσετε. Και πάλι, δώστε ιδιαίτερη προσοχή σε αυτό το αρνητικό σύμβολο όταν εφαρμόζετε εκθέτες:
ε3 + 3 (-3) ε2 + 3 (9) ε + (-27)
Ένας ακόμη γύρος απλοποίησης σάς δίνει την απάντηση:
ε3 - 9ε2 + 27y - 27
Προσέξτε για το άθροισμα και τη διαφορά των κύβων
Να προσέχετε πάντα πού βρίσκονται οι εκθέτες στο πρόβλημά σας. Εάν δείτε κάποιο πρόβλημα στη φόρμα (α + β)3, ή [α + (-b)]3, τότε ο τύπος που συζητείται εδώ είναι κατάλληλος. Αλλά αν το πρόβλημά σας μοιάζει (ένα3 + β3) ή (ένα3 - β3), δεν είναι ο κύβος ενός διωνύμου. Είναι το άθροισμα των κύβων (στην πρώτη περίπτωση) ή η διαφορά των κύβων (στη δεύτερη περίπτωση), οπότε εφαρμόζετε έναν από τους παρακάτω τύπους:
(ένα3 + β3) = (a + b) (α2 - αβ + β2)
(ένα3 - β3) = (α - β) (α2 + αβ + β2)