Η κινηματική είναι ένας μαθηματικός κλάδος της φυσικής που χρησιμοποιεί εξισώσεις για να περιγράψει την κίνηση των αντικειμένων (συγκεκριμένατροχιές) χωρίς να αναφέρεται σε δυνάμεις.
Αυτές οι εξισώσεις σας επιτρέπουν απλά να συνδέσετε διάφορους αριθμούς σε ένα από τα τέσσερα βασικάκινηματικές εξισώσειςνα βρείτε άγνωστα σε αυτές τις εξισώσεις χωρίς να εφαρμόσετε καμία γνώση της φυσικής πίσω από αυτήν την κίνηση, ή να μην έχετε καθόλου γνώση της φυσικής. Το να είσαι καλός στην άλγεβρα αρκεί για να ξεφύγεις από απλά προβλήματα κίνησης βλήματος χωρίς να κερδίσεις πραγματική εκτίμηση για την υποκείμενη επιστήμη.
Η κινηματική εφαρμόζεται συνήθως στην επίλυσηκλασική μηχανικήπροβλήματα στην κίνησημια διάσταση(σε ευθεία γραμμή) ή σεδύο διαστάσεις(με κάθετα και οριζόντια στοιχεία, όπως στοκίνηση βλήματος).
Στην πραγματικότητα, τα γεγονότα που περιγράφονται ως συμβαίνουν σε μία διάσταση ή δύο διαστάσεις ξεδιπλώνονται σε συνηθισμένο τρισδιάστατο χώρο, αλλά για κινηματικοί σκοποί, x έχει «δεξιά» (θετική) και «αριστερά» (αρνητική) κατεύθυνση και y έχει «πάνω» (θετική ») και« κάτω »(αρνητική) κατευθύνσεις. Η έννοια του "βάθους" - δηλαδή, μια κατεύθυνση κατευθείαν προς και μακριά από εσάς - δεν λαμβάνεται υπόψη σε αυτό το σχήμα και συνήθως δεν χρειάζεται να εξηγείται αργότερα για λόγους.
Ορισμοί φυσικής που χρησιμοποιούνται στην κινηματική
Τα προβλήματα κινηματικής ασχολούνται με τη θέση, την ταχύτητα, την επιτάχυνση και το χρόνο σε κάποιο συνδυασμό. Η ταχύτητα είναι ο ρυθμός αλλαγής της θέσης σε σχέση με το χρόνο και η επιτάχυνση είναι ο ρυθμός αλλαγής της ταχύτητας σε σχέση με το χρόνο. πώς παράγεται το καθένα είναι ένα πρόβλημα που μπορεί να συναντήσετε στο λογισμό. Σε κάθε περίπτωση, οι δύο θεμελιώδεις έννοιες στην κινηματική είναι επομένως θέση και χρόνος.
Περισσότερα για αυτές τις μεμονωμένες μεταβλητές:
- Η θέση και η μετατόπιση αντιπροσωπεύονται από έναx, y σύστημα συντεταγμένωνή μερικές φορέςθ(Ελληνικό γράμμα θήτα, που χρησιμοποιείται σε γωνίες στη γεωμετρία της κίνησης) καιρσε ένα σύστημα πολικών συντεταγμένων. Σε μονάδες SI (διεθνές σύστημα), η απόσταση είναι σε μέτρα (m).
- Ταχύτηταβείναι σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο (m / s).
- Επιτάχυνσηέναή
α
(το ελληνικό γράμμα άλφα), η μεταβολή της ταχύτητας με την πάροδο του χρόνου, είναι σε m / s / s ή m / s2. χρόνοςείναισε δευτερόλεπτα. Όταν είναι παρόν, αρχικό και τελικόσυνδρομητές (Εγώκαιφάή εναλλακτικά,0καιφάόπου0ονομάζεται "μηδέν") δηλώνουν αρχικές και τελικές τιμές οποιουδήποτε από τα παραπάνω. Αυτές είναι σταθερές σε οποιοδήποτε πρόβλημα και μια κατεύθυνση (π.χ.,Χ) μπορεί να βρίσκεται στη συνδρομή για να παρέχει συγκεκριμένες πληροφορίες επίσης.
Η μετατόπιση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση είναιδιανυσματικές ποσότητες. Αυτό σημαίνει ότι έχουν τόσο μέγεθος (αριθμό) όσο και κατεύθυνση, η οποία στην περίπτωση επιτάχυνσης μπορεί να μην είναι η κατεύθυνση στην οποία κινείται το σωματίδιο. Σε κινηματικά προβλήματα, αυτός ο φορέας με τη σειρά του μπορεί να χωριστεί σε μεμονωμένους διανύσματα συστατικών x- και y. Μονάδες όπως ταχύτητα και απόσταση, από την άλλη πλευρά, είναικλιμακωτές ποσότητεςκαθώς έχουν μόνο μέγεθος.
Οι τέσσερις κινηματικές εξισώσεις
Τα μαθηματικά που απαιτούνται για την επίλυση προβλημάτων κινηματικής δεν είναι από μόνα τους τρομακτικά. Η εκμάθηση να αντιστοιχίζει τις σωστές μεταβλητές στα σωστά στοιχεία που δίνονται στο πρόβλημα, ωστόσο, μπορεί να είναι μια πρόκληση στην αρχή. Βοηθά στον προσδιορισμό της μεταβλητής που σας ζητά να βρείτε το πρόβλημα και, στη συνέχεια, κοιτάξτε για να δείτε τι σας δίνεται για αυτήν την εργασία.
Ακολουθούν οι τέσσερις τύποι κινηματικής. Ενώ το "x" χρησιμοποιείται για αποδεικτικούς σκοπούς, οι εξισώσεις ισχύουν εξίσου για την κατεύθυνση "y". Υποθέστε τη συνεχή επιτάχυνσηένασε οποιοδήποτε πρόβλημα (σε κάθετη κίνηση αυτό είναι συχνάσολ, η επιτάχυνση λόγω βαρύτητας κοντά στην επιφάνεια της Γης και ίση με 9,8 m / s2).
x = x_0 + / frac {1} {2} (v + v_0) t
Σημειώστε ότι (1/2)(ε + β0)είναι τομέση ταχύτητα.
v = v_0 + στις
Αυτή είναι μια επανάληψη της ιδέας ότι η επιτάχυνση είναι διαφορά στην ταχύτητα με την πάροδο του χρόνου, ή a = (v - v0) / τ.
x = x_0 + v_0t + \ frac {1} {2} στο ^ 2
Μια μορφή αυτής της εξίσωσης όπου αρχική θέση (y0) και αρχική ταχύτητα (v0y) και τα δύο είναι μηδέν είναι η εξίσωση ελεύθερης πτώσης:y = - (1/2) gt2. Το αρνητικό σύμβολο δείχνει ότι η βαρύτητα επιταχύνει τα αντικείμενα προς τα κάτω ή κατά μήκος του αρνητικού άξονα y σε ένα τυπικό πλαίσιο αναφοράς συντεταγμένων.
v ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2α (x-x_0)
Αυτή η εξίσωση είναι χρήσιμη όταν δεν γνωρίζετε (και δεν χρειάζεται να ξέρετε) χρόνο.
Μια διαφορετική λίστα εξισώσεων κινηματικής μπορεί να έχει ελαφρώς διαφορετικούς τύπους, αλλά όλοι περιγράφουν τα ίδια φαινόμενα. Όσο περισσότερο βάζετε τα μάτια σας, τόσο πιο εξοικειωμένοι θα γίνουν ακόμη και όταν είστε ακόμα νέοι στην επίλυση προβλημάτων κινηματικής.
Περισσότερα για τα Κινηματικά Μοντέλα
Οι κινηματικές καμπύλες είναι κοινά γραφήματα που δείχνουν τη θέση έναντι χρόνος (Χεναντίοντ), ταχύτητα έναντι χρόνος (βεναντίοντ) και επιτάχυνση εναντίον χρόνος (έναεναντίοντ). Σε κάθε περίπτωση, ο χρόνος είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή και βρίσκεται στον οριζόντιο άξονα. Αυτό κάνει τη θέση, την ταχύτητα και την επιτάχυνσηεξαρτημένες μεταβλητές, και ως εκ τούτου βρίσκονται στον κατακόρυφο άξονα. (Στα μαθηματικά και τη φυσική, όταν μια μεταβλητή λέγεται ότι "σχεδιάζεται εναντίον" άλλης, η πρώτη είναι η εξαρτημένη μεταβλητή και η δεύτερη η ανεξάρτητη μεταβλητή.)
Αυτά τα γραφήματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν γιακινηματική ανάλυσηκίνησης (για να δείτε σε ποιο χρονικό διάστημα ένα αντικείμενο σταμάτησε ή επιταχύνθηκε, για παράδειγμα).
Αυτά τα γραφήματα σχετίζονται επίσης με αυτό, για οποιοδήποτε δεδομένο χρονικό διάστημα, εάν η θέση έναντι το γράφημα χρόνου είναι γνωστό, τα άλλα δύο μπορούν να δημιουργηθούν γρήγορα αναλύοντας την κλίση του: ταχύτητα έναντι ο χρόνος είναι η κλίση της θέσης εναντίον χρόνος (δεδομένου ότι η ταχύτητα είναι ο ρυθμός αλλαγής θέσης, ή σε όρους λογισμού, το παράγωγο), και επιτάχυνση έναντι ο χρόνος είναι η κλίση της ταχύτητας έναντι του χρόνου (η επιτάχυνση είναι ο ρυθμός αλλαγής της ταχύτητας).
Μια σημείωση για την αντίσταση στον αέρα
Στις εισαγωγικές τάξεις μηχανικής, οι μαθητές συνήθως διδάσκονται να αγνοούν τις επιπτώσεις της αντίστασης του αέρα στα προβλήματα κινηματικής. Στην πραγματικότητα, αυτά τα φαινόμενα μπορεί να είναι σημαντικά και μπορεί να επιβραδύνουν ένα σωματίδιο σε μεγάλο βαθμό, ειδικά σε υψηλότερες ταχύτητες, δεδομένου ότι τοοπισθέλκουσα δύναμητων υγρών (συμπεριλαμβανομένης της ατμόσφαιρας) είναι ανάλογη όχι μόνο με την ταχύτητα, αλλά και με το τετράγωνο της ταχύτητας.
Εξαιτίας αυτού, κάθε φορά που επιλύετε ένα πρόβλημα συμπεριλαμβανομένων των εξαρτημάτων ταχύτητας ή μετατόπισης και σας ζητείται να παραλείψετε τα αποτελέσματα της αντίστασης του αέρα από τον υπολογισμό σας, ότι οι πραγματικές τιμές θα ήταν πιθανώς κάπως χαμηλότερες και οι τιμές του χρόνου κάπως υψηλότερες, επειδή τα πράγματα χρειάζονται περισσότερο χρόνο για να φτάσουν από τόπο σε τόπο μέσω του αέρα από τις βασικές εξισώσεις προλέγω.
Παραδείγματα ενός και δύο διαστάσεων κινηματικών προβλημάτων
Το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνετε όταν αντιμετωπίζετε ένα πρόβλημα κινηματικής είναι να εντοπίσετε τις μεταβλητές και να τις γράψετε. Μπορείτε, για παράδειγμα, να δημιουργήσετε μια λίστα με όλες τις γνωστές μεταβλητές όπως το x0 = 0, ν0x = 5 m / s και ούτω καθεξής. Αυτό βοηθά στο άνοιγμα του δρόμου για την επιλογή ποιας από τις κινηματικές εξισώσεις θα σας επιτρέψει καλύτερα να προχωρήσετε προς μια λύση.
Τα μονοδιάστατα προβλήματα (γραμμική κινηματική) συνήθως ασχολούνται με την κίνηση αντικειμένων που πέφτουν, αν και αυτά μπορεί να περιλαμβάνει πράγματα που περιορίζονται στην κίνηση σε οριζόντια γραμμή, όπως αυτοκίνητο ή τρένο σε ίσιο δρόμο ή πίστα.
Μονοδιάστατα παραδείγματα κινηματικής:
1. Τι είναι τοτελική ταχύτηταύψους δεκάρα που πέφτει από την κορυφή ενός ουρανοξύστη ύψους 300 μέτρων (984 πόδια);
Εδώ, η κίνηση εμφανίζεται μόνο στην κατακόρυφη κατεύθυνση. Η αρχική ταχύτηταβ0y = 0 αφού πέσει η πένα, δεν πετάχτηκε. ε - ε0, ή συνολική απόσταση, είναι -300 m. Η τιμή που αναζητάτε είναι αυτή του vε (ή vΦίε). Η τιμή της επιτάχυνσης είναι –g ή –9,8 m / s2.
Επομένως, χρησιμοποιείτε την εξίσωση:
v ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2α (y-y_0)
Αυτό μειώνεται σε:
v ^ 2 = (2) (- 9,8) (- 300) = 5,880 \ υποδηλώνει v = –76,7 \ κείμενο {m / s}
Αυτό επιτυγχάνεται γρήγορα, και στην πραγματικότητα θανατηφόρο, (76,7 m / s) (μίλι / 1609,3 m) (3600 s / hr) = 172,5 μίλια ανά ώρα. ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ: Το τετράγωνο του όρου ταχύτητας σε αυτόν τον τύπο προβλήματος αποκρύπτει το γεγονός ότι η τιμή του μπορεί να είναι αρνητική, όπως στην περίπτωση αυτή. ο φορέας ταχύτητας του σωματιδίου δείχνει προς τα κάτω κατά μήκος του άξονα y. Μαθηματικά, και τα δύοβ= 76,7 m / s καιβ= –76,7 m / s είναι λύσεις.
2. Ποια είναι η μετατόπιση ενός αυτοκινήτου που ταξιδεύει με σταθερή ταχύτητα 50 m / s (περίπου 112 μίλια ανά ώρα) γύρω από μια πίστα αγώνων για 30 λεπτά, ολοκληρώνοντας ακριβώς 30 γύρους στη διαδικασία;
Αυτό είναι ένα είδος τέχνασμα. Η απόσταση που διανύθηκε είναι απλώς προϊόν ταχύτητας και χρόνου: (50 m / s) (1800 s) = 90.000 m ή 90 km (περίπου 56 μίλια). Αλλά η μετατόπιση είναι μηδενική, επειδή το αυτοκίνητο καταλήγει στο ίδιο σημείο που ξεκινά.
Διδιάστατα παραδείγματα κινηματικής:
3. Ένας παίκτης του μπέιζμπολ ρίχνει μια μπάλα οριζόντια με ταχύτητα 100 μίλια την ώρα (45 m / s) από την οροφή του κτιρίου στο πρώτο πρόβλημα. Υπολογίστε πόσο μακριά ταξιδεύει οριζόντια πριν χτυπήσετε το έδαφος.
Πρώτα πρέπει να προσδιορίσετε πόσο καιρό είναι η μπάλα στον αέρα. Σημειώστε ότι παρά το ότι η μπάλα έχει οριζόντια συνιστώσα ταχύτητας, αυτό εξακολουθεί να είναι πρόβλημα ελεύθερης πτώσης.
Πρώτα, χρησιμοποιήστε β = ν0 + στις και συνδέστε τις τιμές v = –76,7 m / s, v0 = 0 και a = –9,8 m / s2 για επίλυση για t, που είναι 7,8 δευτερόλεπτα. Στη συνέχεια, αντικαταστήστε αυτήν την τιμή στην εξίσωση σταθερής ταχύτητας (επειδή δεν υπάρχει επιτάχυνση στην κατεύθυνση x)x = x0 + vtγια επίλυση για το x, τη συνολική οριζόντια μετατόπιση:
x = (45) (7,8) = 351 \ κείμενο {m}
ή 0,22 μίλια.
Ως εκ τούτου, η μπάλα θα προσγειωθεί θεωρητικά κοντά στο ένα τέταρτο του μιλίου μακριά από τη βάση του ουρανοξύστη.
Ανάλυση κινηματικής: Ταχύτητα έναντι Απόσταση γεγονότος σε πίστα και πεδίο
Εκτός από την παροχή χρήσιμων φυσικών δεδομένων για μεμονωμένα γεγονότα, δεδομένα που σχετίζονται με την κινηματική μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη δημιουργία σχέσεων μεταξύ διαφορετικών παραμέτρων στο ίδιο αντικείμενο. Εάν το αντικείμενο τυχαίνει να είναι ανθρώπινος αθλητής, υπάρχουν δυνατότητες για τη χρήση δεδομένων φυσικής για τη χάραξη της αθλητικής προπόνησης και τον καθορισμό της ιδανικής τοποθέτησης αγώνων σε ορισμένες περιπτώσεις.
Για παράδειγμα, οι σπριντ περιλαμβάνουν αποστάσεις έως και 800 μέτρα (απλά ντροπαλός μισό μίλι), οι αγώνες μεσαίας απόστασης περιλαμβάνει τα 800 μέτρα έως περίπου τα 3.000 μέτρα και τα πραγματικά γεγονότα μεγάλων αποστάσεων είναι 5.000 μέτρα (3.107 μίλια) και παραπανω. Εάν εξετάσετε τα παγκόσμια ρεκόρ στα τρέχοντα γεγονότα, θα δείτε μια ξεχωριστή και προβλέψιμη αντίστροφη σχέση μεταξύ της απόστασης του αγώνα (μια παράμετρος θέσης, ας πούμεΧ) και ταχύτητα παγκόσμιου ρεκόρ (β, ή το βαθμωτό συστατικό τουβ).
Εάν μια ομάδα αθλητών τρέχει μια σειρά αγώνων σε μια σειρά αποστάσεων, και μια ταχύτητα εναντίον Το γράφημα απόστασης δημιουργείται για κάθε δρομέα, όσοι είναι καλύτεροι σε μεγαλύτερες αποστάσεις θα δείξουν μια πιο επίπεδη καμπύλη, όπως η ταχύτητά τους επιβραδύνεται λιγότερο με αυξανόμενη απόσταση σε σύγκριση με δρομείς των οποίων το φυσικό "γλυκό σημείο" είναι μικρότερο αποστάσεις.
Νόμοι του Νεύτωνα
Ο Ισαάκ Νεύτωνας (1642-1726) ήταν, από κάθε μέτρο, από τα πιο αξιόλογα πνευματικά δείγματα που έχει δει ποτέ η ανθρωπότητα. Εκτός από την αναγνώρισή του ως συνιδρυτής της μαθηματικής πειθαρχίας του λογισμού, η εφαρμογή του μαθηματικών στη φυσική επιστήμη άνοιξε το δρόμο για ένα πρωτοποριακό άλμα και διαρκείς ιδέες σχετικά με τη μεταγραφική κίνηση (το είδος που συζητείται εδώ) καθώς και την περιστροφική κίνηση και την κυκλική κίνηση.
Δημιουργώντας έναν εντελώς νέο κλάδο της κλασικής μηχανικής, ο Νεύτωνας διευκρίνισε τρεις θεμελιώδεις νόμους για την κίνηση ενός σωματιδίου.Ο πρώτος νόμος του Νεύτωναδηλώνει ότι ένα αντικείμενο που κινείται με σταθερή ταχύτητα (συμπεριλαμβανομένου του μηδέν) θα παραμείνει σε αυτήν την κατάσταση εκτός εάν διαταραχθεί από μια μη ισορροπημένη εξωτερική δύναμη. Στη Γη, η βαρύτητα είναι σχεδόν πάντα παρούσα.Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωναισχυρίζεται ότι μια καθαρή εξωτερική δύναμη που εφαρμόζεται σε ένα αντικείμενο με μάζα αναγκάζει το αντικείμενο να επιταχύνει:φάκαθαρά= μένα. Ο τρίτος νόμος του Νεύτωναπροτείνει ότι για κάθε δύναμη, υπάρχει δύναμη ίση σε μέγεθος και αντίθετη προς την κατεύθυνση.