Vectors & Scalars: Τι είναι και γιατί έχουν σημασία;

Στην καθημερινή ζωή, οι περισσότεροι άνθρωποι χρησιμοποιούν τους όρουςΤαχύτητακαιταχύτηταεναλλακτικά, αλλά για τους φυσικούς, είναι παραδείγματα δύο πολύ διαφορετικών τύπων ποσότητας.

Τα προβλήματα της μηχανικής ασχολούνται με την κίνηση των αντικειμένων και ενώ μπορείτε απλά να περιγράψετε την κίνηση από την άποψη της ταχύτητας, η συγκεκριμένη κατεύθυνση που πηγαίνει κάτι είναι συχνά εξαιρετικά σημαντική.

Παρομοίως, οι δυνάμεις που ασκούνται σε αντικείμενα μπορούν να προέρχονται από πολλές διαφορετικές κατευθύνσεις - σκεφτείτε για παράδειγμα τα αντίθετα τράβηγμα σε μια σύγκρουση - έτσι Οι φυσικοί που περιγράφουν καταστάσεις όπως αυτό πρέπει να χρησιμοποιούν ποσότητες που περιγράφουν τόσο το «μέγεθος» πραγμάτων όπως δυνάμεις όσο και την κατεύθυνση στην οποία υποκρίνομαι. Αυτές οι ποσότητες καλούνταιδιανύσματα​.

TL; DR (Πάρα πολύ καιρό; Δεν διαβάστηκε)

Ένας φορέας έχει τόσο μέγεθος όσο και συγκεκριμένη κατεύθυνση, αλλά μια κλιμακωτή ποσότητα έχει μόνο μέγεθος.

Η βασική διαφορά μεταξύ διανυσμάτων και βαθμών είναι ότι το μέγεθος ενός διανύσματος δεν το περιγράφει πλήρως. πρέπει επίσης να υπάρχει μια δηλωμένη κατεύθυνση.

Η κατεύθυνση ενός διανύσματος μπορεί να δηλωθεί με πολλούς τρόπους, είτε μέσω θετικών είτε αρνητικών σημείων μπροστά του, εκφράζοντας τη με τη μορφή συστατικών (κλιματικές τιμές δίπλα στο κατάλληλο​Εγώ​​, ​​ι​και​κ​"Μονάδα διανύσματος", που αντιστοιχεί στις καρτεσιανές συντεταγμένες τουΧ​, ​γκαιζ, αντίστοιχα), προσθέτοντας μια γωνία σε σχέση με μια καθορισμένη κατεύθυνση (π.χ. "60 μοίρες από τοΧ-αξίδα ") ή απλά προσθέτοντας μερικές λέξεις για να περιγράψουμε την κατεύθυνση (π.χ." βορειοδυτικά ").

Αντίθετα, μια βαθμίδα είναι ακριβώς το μέγεθος του διανύσματος χωρίς επιπλέον σημείωση ή πληροφορίες - για παράδειγμα, η ταχύτητα είναι ένα ισοδύναμο κλίμακας του διανύσματος ταχύτητας. Από μαθηματική άποψη, είναι η απόλυτη τιμή του διανύσματος.

Ωστόσο, πολλές ποσότητες, όπως η ενέργεια, η πίεση, το μήκος, η μάζα, η ισχύς και η θερμοκρασία είναι παραδείγματα βαθμών που δεν είναι μόνο το μέγεθος ενός αντίστοιχου διανύσματος. Δεν χρειάζεται να γνωρίζετε την «κατεύθυνση» της μάζας, για παράδειγμα, για να έχετε μια πλήρη εικόνα ως φυσική ιδιότητα.

Υπάρχουν μερικά αντίθετα γεγονότα που μπορείτε να καταλάβετε όταν γνωρίζετε τη διαφορά μεταξύ ενός κλιμακούμενου και ένα διάνυσμα, όπως η ιδέα ότι κάτι θα μπορούσε να έχει μια σταθερή ταχύτητα αλλά μια συνεχή αλλαγή ταχύτητα. Φανταστείτε ένα αυτοκίνητο να οδηγεί με σταθερή ταχύτητα 10 km / h αλλά σε κύκλο. Επειδή η κατεύθυνση ενός διανύσματος είναι μέρος του ορισμού του, το διάνυσμα ταχύτητας του αυτοκινήτου είναι πάντα αλλάζει σε αυτό το παράδειγμα, παρά το γεγονός ότι το μέγεθος του διανύσματος (δηλαδή, η ταχύτητά του) είναι συνεχής.

Υπάρχουν πολλά παραδείγματα διανυσμάτων στη φυσική, αλλά μερικά από τα πιο γνωστά παραδείγματα είναι η δύναμη, η ορμή, η επιτάχυνση και η ταχύτητα, τα οποία παρουσιάζονται έντονα στην κλασική φυσική. Ένα διάνυσμα ταχύτητας θα μπορούσε να εμφανίζεται ως 25 m / s στα ανατολικά, −8 km / h στογ-κατεύθυνση,​β​= 5 m / sΕγώ+ 10 m / sι, ή 10 m / s σε κατεύθυνση 50 μοίρες από τοΧ-άξονας.

Τα διανύσματα ορμής είναι ένα άλλο παράδειγμα που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε για να δείτε πώς εμφανίζονται το μέγεθος και η κατεύθυνση του διανύσματος στη φυσική. Αυτά λειτουργούν ακριβώς όπως τα παραδείγματα διανυσμάτων ταχύτητας, με 50 kg m / s στα δυτικά, −12 km / h στοζκατεύθυνση,​Π​= 12 kg m / sΕγώ- 10 kg m / sι- 15 kg m / sκκαι 100 kg m / s 30 μοίρες από τοΧ-αυτό είναι παραδείγματα για το πώς θα μπορούσαν να εμφανίζονται. Τα ίδια βασικά σημεία ισχύουν για την εμφάνιση διανυσμάτων επιτάχυνσης, με τη μόνη διαφορά να είναι η μονάδα m / s² και το σύμβολο που χρησιμοποιείται συνήθως για τον φορέα,​ένα​​.

Η Δύναμη είναι το τελευταίο από αυτά τα παραδείγματα εκφράσεων διανυσμάτων, και ενώ υπάρχουν πολλές ομοιότητες, χρησιμοποιώντας κυλινδρικές συντεταγμένες (ρ​, ​θ​, ​ζαντί των καρτεσιανών συντεταγμένων μπορούν να βοηθήσουν στην εμφάνιση άλλων τρόπων με τους οποίους μπορεί να εμφανίζονται. Για παράδειγμα, μπορείτε να γράψετε μια δύναμη ως​φά​= 10 Νρ+ 35 Β𝛉, για μια δύναμη με συστατικά κατά την ακτινική κατεύθυνση και την αζιμουθιακή κατεύθυνση, ή περιγράψτε τη δύναμη της βαρύτητας σε ένα αντικείμενο 1 kg στη Γη ως 10 N στο -ρκατεύθυνση (δηλαδή, προς το κέντρο του πλανήτη).

Στα διαγράμματα, τα διανύσματα εμφανίζονται χρησιμοποιώντας βέλη, με το μέγεθος του διανύσματος να αντιπροσωπεύεται από το μήκος του βέλους και την κατεύθυνσή του να αντιπροσωπεύεται από την κατεύθυνση στην οποία δείχνει το βέλος. Για παράδειγμα, ένα μεγαλύτερο βέλος δείχνει ότι μια δύναμη είναι μεγαλύτερη (δηλ. Περισσότερα νιούτον ή μεγαλύτερο μέγεθος) από μια άλλη δύναμη.

Για ένα διάνυσμα που δείχνει κίνηση, όπως η ορμή ή το διάνυσμα ταχύτητας, τομηδέν διάνυσμα(δηλ., ένα διάνυσμα που δεν αντιπροσωπεύει ταχύτητα ή ορμή) εμφανίζεται με μία μόνο κουκκίδα.

Αξίζει να σημειωθεί ότι επειδή το μήκος του βέλους αντιπροσωπεύει το μέγεθος του διανύσματος και ο προσανατολισμός του αντιπροσωπεύει την κατεύθυνση του διανύσματος. Είναι χρήσιμο να προσπαθείτε να είστε αρκετά ακριβείς όταν κάνετε ένα διανυσματικό διάγραμμα. Δεν χρειάζεται να είναι τέλειο, αλλά αν το διάνυσμα​ένα​είναι διπλάσιο από το διάνυσμα​σι​, το βέλος πρέπει να έχει περίπου διπλάσιο μήκος.

Η προσθήκη διανύσματος και η αφαίρεση διανύσματος είναι λίγο πιο περίπλοκες από την προσθήκη και την αφαίρεση των βαθμίδων, αλλά μπορείτε να διαλέξετε τις έννοιες εύκολα. Υπάρχουν δύο κύριες προσεγγίσεις που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε και η καθεμία έχει πιθανές χρήσεις ανάλογα με το συγκεκριμένο πρόβλημα που αντιμετωπίζετε.

Το πρώτο και το πιο εύκολο στη χρήση όταν σας έχουν δοθεί δύο διανύσματα σε μορφή συστατικού, είναι να προσθέσετε απλά στοιχεία που ταιριάζουν με τον ίδιο τρόπο που θα προσθέσατε συνηθισμένες βαθμίδες. Για παράδειγμα, αν χρειαστεί να προσθέσετε τις δύο δυνάμεις​φά​​₁ = 5 ΝΕγώ+ 10 Βικαι​φά​​₂ = 6 ΝΕγώ+ 15 Βι+ 10 Βκ, θα προσθέσετε τοΕγώσυστατικά, τότε τοισυστατικά και τέλος τοκσυστατικά ως εξής:

Το διάνυσμα αφαίρεση λειτουργεί με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, εκτός από το ότι αφαιρείτε τις ποσότητες αντί να τις προσθέτετε. Η προσθήκη διανύσματος είναι επίσης εναλλακτική, όπως η συνηθισμένη προσθήκη με πραγματικούς αριθμούς, έτσι​ένα ​​+ ​​σι​​ = ​​σι​​ + ​​ένα​​.

Μπορείτε επίσης να πραγματοποιήσετε προσθήκη διανύσματος χρησιμοποιώντας διαγράμματα βέλους τοποθετώντας τα βέλη του φορέα προς τα πίσω και στη συνέχεια σχεδιάζοντας ένα νέο βέλος για το άθροισμα των διανυσμάτων που συνδέουν την ουρά του πρώτου βέλους με την κεφαλή του δεύτερος.

Εάν έχετε μια απλή προσθήκη φορέα με μία στοΧ-κατεύθυνση και ένα άλλο στογ-κατεύθυνση, το διάγραμμα σχηματίζει ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Μπορείτε να ολοκληρώσετε την προσθήκη του διανύσματος και να προσδιορίσετε το μέγεθος και την κατεύθυνση του διανύσματος που προκύπτει, «λύνοντας» το τρίγωνο χρησιμοποιώντας τριγωνομετρία και θεώρημα του Πυθαγόρα.

Ο πολλαπλασιασμός διανυσμάτων είναι λίγο πιο περίπλοκος από τον κλιματικό πολλαπλασιασμό για πραγματικούς αριθμούς, αλλά οι δύο κύριες μορφές πολλαπλασιασμού είναι το προϊόν κουκκίδων και το εγκάρσιο προϊόν. Το προϊόν κουκκίδων ονομάζεται κλιμακωτό προϊόν και ορίζεται ως:

ή

όπουθείναι η γωνία μεταξύ των δύο διανυσμάτων, και οι δείκτες 1, 2 και 3 αντιπροσωπεύουν το πρώτο, δεύτερο και τρίτο συστατικό του διανύσματος. Το αποτέλεσμα του προϊόντος κουκκίδων είναι βαριά.

Το διασταυρούμενο προϊόν ορίζεται ως:

με τα κόμματα να διαχωρίζουν τα στοιχεία του αποτελέσματος σε διαφορετικές κατευθύνσεις.