Λειτουργίες κυμάτων: Ορισμός, Ιδιότητες, Εξισώσεις & Σημάδια

Ο Ρίτσαρντ Φέιμαν είπε κάποτε, «Αν νομίζετε ότι καταλαβαίνετε την κβαντική μηχανική, δεν καταλαβαίνετε κβαντική μηχανική." Ενώ ήταν αναμφίβολα λίγο ελαφρύς, υπάρχει σίγουρα αλήθεια σε αυτόν δήλωση. Η κβαντομηχανική είναι ένα απαιτητικό θέμα ακόμη και για τους πιο προηγμένους φυσικούς.

Το θέμα δεν είναι τόσο διαισθητικό που δεν υπάρχει μεγάλη ελπίδα κατανόησηςΓιατίη φύση συμπεριφέρεται όπως κάνει στο κβαντικό επίπεδο. Ωστόσο, υπάρχουν καλά νέα για τους μαθητές της φυσικής που ελπίζουν να μπορούν να περάσουν μαθήματα στην κβαντομηχανική. Η συνάρτηση wave και η εξίσωση Schrodinger είναι αναμφισβήτητα χρήσιμα εργαλεία για την περιγραφή και την πρόβλεψη του τι θα συμβεί στις περισσότερες καταστάσεις.

Ίσως όχικαταλαβαίνω πλήρωςτι ακριβώς συμβαίνει - γιατί η συμπεριφορά της ύλης σε αυτήν την κλίμακα είναιΈτσιπερίεργο σχεδόν αψηφεί την εξήγηση - αλλά τα εργαλεία που έχουν αναπτύξει οι επιστήμονες για να περιγράψουν την κβαντική θεωρία είναι απαραίτητα για οποιονδήποτε φυσικό.

Η κβαντομηχανική είναι ο κλάδος της φυσικής που ασχολείται με εξαιρετικά μικρά σωματίδια και άλλα αντικείμενα σε παρόμοιες κλίμακες όπως τα άτομα. Ο όρος «κβαντικό» προέρχεται από το «κβαντικό», που σημαίνει «πόσο μεγάλη», αλλά στο πλαίσιο, αναφέρεται στο γεγονός ότι ενέργεια και άλλες ποσότητες όπως η γωνιακή ορμή παίρνουν διακριτές, κβαντοποιημένες τιμές στις κλίμακες του κβαντικού Μηχανική.

Αυτό είναι αντίθετο με το να υπάρχει ένα «συνεχές» εύρος πιθανών τιμών, όπως οι ποσότητες στη μακροεντολή κλίμακα. Για παράδειγμα, στην κλασική μηχανική, επιτρέπεται οποιαδήποτε τιμή για τη συνολική ενέργεια του ας πούμε, μια μπάλα σε κίνηση, ενώ στην κβαντική μηχανική, σωματίδια όπως τα ηλεκτρόνια μπορούν να πάρουν μόνο συγκεκριμένα,σταθερόςτιμές ενέργειας όταν συνδέεται με ένα άτομο.

Υπάρχουν πολλές άλλες διαφορές μεταξύ των κβαντικών μηχανικών συστημάτων και του κόσμου της κλασικής μηχανικής. Για παράδειγμα, στην κβαντική μηχανική, οι παρατηρήσιμες ιδιότητες δεν έχουν καθοριστική τιμήπροτού τα μετρήσετε; υπάρχουν ως υπέρθεση πολλαπλών πιθανών τιμών.

Εάν μετρήσετε την ορμή μιας μπάλας, μετράτε την πραγματική προϋπάρχουσα αξία ενός φυσικού ιδιοκτησία, αλλά εάν μετράτε την ορμή ενός σωματιδίου, διαλέγετε μία από τις πιθανές επιλογές πολιτείεςαπό την πράξη της μέτρησης. Τα αποτελέσματα των μετρήσεων στην κβαντική μηχανική εξαρτώνται από τις πιθανότητες και έτσι οι επιστήμονες δεν μπορούν να κάνουν οριστικές δηλώσεις σχετικά με το αποτέλεσμα οποιασδήποτε συγκεκριμένης δήλωσης με τον ίδιο τρόπο όπως στην κλασική Μηχανική.

Ως απλό παράδειγμα, τα σωματίδια δεν έχουν καλά καθορισμένες θέσεις, αλλά έχουν ένα σύνολο (και καλά καθορισμένο) εύρος θέσεων σε όλο το διάστημα και μπορείτε να γράψετε την πυκνότητα πιθανότητας σε όλο το εύρος των δυνατών τοποθεσίες. Μπορείτε να μετρήσετε τη θέση ενός σωματιδίου και να λάβετε μια ξεχωριστή τιμή, αλλά αν εκτελέσατε ξανά τη μέτρηση στοίδιες ακριβώς συνθήκες, θα έχετε ένα διαφορετικό αποτέλεσμα.

Υπάρχουν και πολλές άλλες ασυνήθιστες ιδιότητες των σωματιδίων, όπως η δυαδικότητα κυμάτων-σωματιδίων, όπου κάθε σωματίδιο ύλης έχει ένα σχετικό κύμα de Broglie. Όλα τα μικρά σωματίδια εμφανίζουν συμπεριφορά τύπου σωματιδίων και κυμάτων ανάλογα με τις περιστάσεις.

Η δυαδικότητα των κυμάτων-σωματιδίων είναι μία από τις βασικές έννοιες της κβαντικής φυσικής και γι 'αυτό κάθε σωματίδιο αντιπροσωπεύεται από μια συνάρτηση κυμάτων. Συνήθως δίνεται το ελληνικό γράμμαΨ(psi) και είναι συνάρτηση της θέσης (Χ) και ώρα (τ) και περιέχει όλες τις πληροφορίες που είναι γνωστές για το σωματίδιο.

Σκεφτείτε ξανά αυτό το σημείο - παρά την πιθανοτική φύση της ύλης στην κβαντική κλίμακα, η λειτουργία κύματος επιτρέπει έναπλήρηςπεριγραφή του σωματιδίου, ή τουλάχιστον όσο το δυνατόν πληρέστερη περιγραφή. Η έξοδος μπορεί να είναι κατανομή πιθανότητας, αλλά καταφέρνει να είναι πλήρης στην περιγραφή της.

Το συντελεστή (δηλαδή απόλυτη τιμή) αυτής της συνάρτησης τετράγωνο σας λέει την πιθανότητα να βρείτε το σωματίδιο που περιγράφεται στη θέσηΧ(ή εντός μικρού εύρους δΧ, για να είμαστε ακριβείς) τη στιγμήτ. Οι λειτουργίες κυμάτων πρέπει να κανονικοποιηθούν (ρυθμίστε έτσι ώστε η πιθανότητα να είναι 1 ότι θα βρεθείκάπου) για να συμβεί αυτό, αλλά αυτό γίνεται σχεδόν πάντα και αν δεν συμβαίνει αυτό, μπορείτε να ομαλοποιήσετε τη λειτουργία κύματος μόνοι σας αθροίζοντας το συντελεστή τετραγώνου πάνω από όλες τις τιμέςΧ, ορίζοντάς το στο 1 και ορίζοντας μια σταθερά κανονικοποίησης ανάλογα.

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη λειτουργία κύματος για να υπολογίσετε την τιμή προσδοκίας για τη θέση ενός σωματιδίου τη στιγμήτ, η οποία είναι ουσιαστικά η μέση τιμή που θα λάβετε για τη θέση σε πολλές μετρήσεις.

Υπολογίζετε την τιμή προσδοκίας γύρω από τον «τελεστή» για το παρατηρήσιμο (π.χ. για τη θέση, αυτό είναι ακριβώςΧ) με τη λειτουργία κύματος και το σύνθετο σύζευγμα (σαν σάντουιτς) και στη συνέχεια ενοποίηση σε όλο το χώρο. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ίδια προσέγγιση με διαφορετικούς χειριστές για να υπολογίσετε τις τιμές προσδοκίας για ενέργεια, ορμή και άλλα παρατηρήσιμα.

Η εξίσωση Schrodinger είναι η πιο σημαντική εξίσωση στην κβαντική μηχανική και περιγράφει την εξέλιξη της λειτουργίας των κυμάτων με το χρόνο και σας επιτρέπει να προσδιορίσετε την αξία της. Συνδέεται στενά με την εξοικονόμηση ενέργειας και τελικά προέρχεται από αυτήν, αλλά παίζει ρόλο παρόμοιο με αυτόν που παίζουν οι νόμοι του Νεύτωνα στην κλασική μηχανική. Ο απλούστερος τρόπος για να γράψετε την εξίσωση είναι:

Εδώ,Ηείναι ο χειριστής της Χάμιλτον, ο οποίος έχει μια μεγαλύτερη πλήρη φόρμα:

Αυτό ενεργεί στη συνάρτηση κυμάτων για να περιγράψει την εξέλιξή του στο χώρο και στο χρόνο, και στο ανεξάρτητη από το χρόνο έκδοση της εξίσωσης Schrodinger, μπορεί να θεωρηθεί ο φορέας ενέργειας για το κβαντικό σύστημα. Οι κβαντικές μηχανικές λειτουργίες κυμάτων είναι λύσεις στην εξίσωση Schrodinger.

Η αρχή της αβεβαιότητας Heisenberg είναι μια από τις πιο διάσημες αρχές της κβαντικής μηχανικής, και δηλώνει ότι η θέσηΧκαι ορμήΠενός σωματιδίου δεν μπορεί και οι δύο να είναι γνωστοί με βεβαιότητα, ή πιο συγκεκριμένα, σε αυθαίρετο βαθμό ακρίβειας.

Υπάρχει έναθεμελιώδηςπεριορίστε το επίπεδο ακρίβειας με το οποίο μπορείτε να μετρήσετε και τις δύο αυτές ποσότητες ταυτόχρονα. Το αποτέλεσμα προέρχεται από τη δυαδικότητα κύματος σωματιδίων κβαντικών μηχανικών αντικειμένων και συγκεκριμένα από τον τρόπο που περιγράφονται ως πακέτο κυμάτων πολλαπλών συνιστωσών κυμάτων.

Ενώ η αρχή της αβεβαιότητας θέσης και ορμής είναι η πιο γνωστή, υπάρχει επίσης ο χρόνος ενέργειας αρχή της αβεβαιότητας (που λέει το ίδιο πράγμα για την ενέργεια και το χρόνο) αλλά και τη γενικευμένη αβεβαιότητα αρχή.

Εν ολίγοις, αυτό δηλώνει ότι δύο ποσότητες που δεν «μετακινούνται» μεταξύ τους (πούAB - BA ≠ 0) δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα γνωστή ως αυθαίρετη ακρίβεια. Υπάρχουν πολλές άλλες ποσότητες που δεν μετακινούνται μεταξύ τους, και τόσα πολλά ζεύγη παρατηρήσιμων που δεν μπορούν να είναι προσδιορίζεται με ακρίβεια ταυτόχρονα - η ακρίβεια σε μια μέτρηση σημαίνει τεράστιο ποσό αβεβαιότητας στην άλλη.

Αυτό είναι ένα από τα κύρια πράγματα σχετικά με την κβαντική μηχανική που είναι δύσκολο να καταλάβουμε από τη μακροσκοπική μας προοπτική. Αντικείμενα που συναντάτε καθημερινάόλαέχουν σαφώς καθορισμένες τιμές για πράγματα όπως η θέση τους και η ορμή τους ανά πάσα στιγμή και μέτρηση Οι αντίστοιχες τιμές στην κλασική φυσική περιορίζονται μόνο από την ακρίβεια του εξοπλισμού μέτρησης.

Στην κβαντική μηχανική, ωστόσο,η ίδια η φύσηορίζει ένα όριο για την ακρίβεια στην οποία μπορείτε να μετρήσετε δύο παρατηρήσιμα που δεν μετακινούνται. Είναι δελεαστικό να πιστεύουμε ότι αυτό είναι απλώς ένα πρακτικό πρόβλημα και θα μπορέσετε να το επιτύχετε μια μέρα, αλλά αυτό δεν συμβαίνει: Είναι αδύνατο.

Η περίεργη κατάσταση που συνεπάγεται ο μαθηματικός φορμαλισμός της κβαντικής μηχανικής έδωσε στους φυσικούς πολλά να σκεφτούν: Ποια ήταν η φυσική ερμηνεία της λειτουργίας των κυμάτων, για παράδειγμα; Ήταν ένα ηλεκτρόνιοΠραγματικάένα σωματίδιο ή ένα κύμα, ή θα μπορούσε να είναι και τα δύο; Η ερμηνεία της Κοπεγχάγης είναι η πιο γνωστή προσπάθεια απάντησης σε ερωτήσεις όπως αυτή και ακόμη η πιο ευρέως αποδεκτή.

Η ερμηνεία ουσιαστικά λέει ότι η συνάρτηση κυμάτων και η εξίσωση Schrodinger είναι πλήρεις περιγραφή του κύματος ή των σωματιδίων και οποιεσδήποτε πληροφορίες που δεν μπορούν να προέλθουν από αυτά απλά δεν έχουν υπάρχει.

Για παράδειγμα, η συνάρτηση κυμάτων εξαπλώνεται στο διάστημα και αυτό σημαίνει ότι το ίδιο το σωματίδιο δεν έχει σταθερή θέση μέχρι να τη μετρήσετε, και σε αυτό το σημείο η συνάρτηση κυμάτων «καταρρέει» και θα λάβετε ένα συγκεκριμένο αξία. Σε αυτήν την άποψη, η δυαδικότητα κυμάτων-σωματιδίων της κβαντικής μηχανικής δεν σημαίνει ότι ένα σωματίδιο είναικαι τα δυοένα κύμα και ένα σωματίδιο. σημαίνει απλά ότι ένα σωματίδιο σαν ένα ηλεκτρόνιο θα συμπεριφέρεται ως κύμα σε ορισμένες περιπτώσεις και ως σωματίδιο σε άλλες.

Ο Niels Bohr, ο μεγαλύτερος υποστηρικτής της ερμηνείας της Κοπεγχάγης, φέρεται να επικρίνει ερωτήματα όπως, "Είναι το ηλεκτρόνιο στην πραγματικότητα ένα σωματίδιο, ή είναι ένα κύμα;"

Είπε ότι δεν είχαν νόημα, γιατί για να μάθετε πρέπει να κάνετε μια μέτρηση, και το μορφή της μέτρησης (δηλ. αυτό που είχαν σχεδιαστεί για να ανιχνεύσουν) θα καθορίσει το αποτέλεσμα εσείς λαμβάνεται. Επιπλέον, όλες οι μετρήσεις είναι ουσιαστικά πιθανοτικές και αυτή η πιθανότητα είναι ενσωματωμένη στη φύση και όχι λόγω έλλειψης γνώσεων ή ακρίβειας εκ μέρους των επιστημόνων.

Υπάρχει ακόμα μεγάλη διαφωνία σχετικά με την ερμηνεία της κβαντικής μηχανικής, ωστόσο, και υπάρχουν εναλλακτικές ερμηνείες που αξίζει να μάθουμε επίσης, ιδίως την ερμηνεία πολλών κόσμων και το de Broglie-Bohm ερμηνεία.

Η ερμηνεία πολλών κόσμων προτάθηκε από τον Hugh Everett III, και ουσιαστικά αφαιρεί την ανάγκη για κατάρρευση του κύματος λειτουργούν πλήρως, αλλά με αυτόν τον τρόπο προτείνουν πολλαπλούς παράλληλους «κόσμους» (που έχουν έναν ολισθηρό ορισμό στη θεωρία) που συνυπάρχουν με το δικό σου.

Στην ουσία, λέει ότι όταν κάνετε μια μέτρηση ενός κβαντικού συστήματος, το αποτέλεσμα που λαμβάνετε δεν περιλαμβάνει τη λειτουργία κύματος καταρρέει σε μια συγκεκριμένη τιμή για το παρατηρήσιμο, αλλά ξεμπλέκει πολλούς κόσμους και βρίσκεστε σε ένα και όχι στο οι υπολοιποι. Στον κόσμο σας, για παράδειγμα, το σωματίδιο βρίσκεται στη θέση Α αντί για το Β ή το Γ, αλλά σε έναν άλλο κόσμο θα είναι στο Β, και σε έναν άλλο θα είναι στο C.

Αυτό είναι στην ουσία ντετερμινιστική (και όχι μια θεωρία πιθανοτήτων), αλλά είναι η αβεβαιότητά σας για τον κόσμο που κατοικείτε που δημιουργεί την φαινομενικά πιθανοτική φύση της κβαντικής μηχανικής. Η πιθανότητα σχετίζεται πραγματικά με το αν είστε στον κόσμο Α, Β ή Γ, όχι όπου το σωματίδιο βρίσκεται μέσα στον κόσμο σας. Ωστόσο, η «διάσπαση» κόσμων εγείρει αναμφισβήτητα όσα ερωτήματα απαντά, και έτσι η ιδέα εξακολουθεί να είναι αρκετά αμφιλεγόμενη.

Η ερμηνεία de Broglie-Bohm καλείται μερικές φορέςμηχανική πιλοτικών κυμάτων, και προκύπτει από την ερμηνεία της Κοπεγχάγης στο ότι τα σωματίδια περιγράφονται από τις λειτουργίες των κυμάτων και την εξίσωση Schrodinger.

Ωστόσο, δηλώνει ότι κάθε σωματίδιο έχει μια καθορισμένη θέση ακόμη και όταν δεν παρατηρείται, αλλά είναι καθοδηγείται από ένα «πιλοτικό κύμα», για το οποίο υπάρχει μια άλλη εξίσωση που χρησιμοποιείτε για τον υπολογισμό της εξέλιξης του Σύστημα. Αυτό περιγράφει τη δυαδικότητα των κυμάτων-σωματιδίων λέγοντας ουσιαστικά ότι ένα σωματίδιο «κυματίζει» σε μια καθορισμένη θέση πάνω σε ένα κύμα, με το κύμα να καθοδηγεί την κίνησή του, αλλά εξακολουθεί να υπάρχει ακόμη και όταν δεν παρατηρείται.