Γωνιακή ορμή: Ορισμός, εξίσωση, μονάδες (με διαγράμματα και παραδείγματα)

Εξετάστε τη σκηνή: Εσείς και ένας φίλος, λόγω ζητημάτων πέρα ​​από τον έλεγχό σας, στέκεστε στην κορυφή μιας μακράς, κεκλιμένης ράμπας. Στον καθένα σας έχει δοθεί μια μπάλα ακριβώς 1 m σε ακτίνα. Σας είπαν ότι το δικό σας είναι κατασκευασμένο από ομοιόμορφο, αφρώδες υλικό και έχει μάζα 5 κιλών. Η μπάλα του φίλου σας έχει επίσης μάζα 5 κιλών, την οποία επαληθεύετε με εύχρηστη ζυγαριά.

Ο φίλος σας θέλει να σας στοιχηματίσει ότι αν αφήσετε τις δύο μπάλες ταυτόχρονα, η δική σας θα φτάσει στο κάτω μέρος πρώτα. Είστε στον πειρασμό να υποστηρίξετε ότι δεδομένου ότι οι μπάλες έχουν την ίδια μάζα και την ίδια ακτίνα (και συνεπώς τον όγκο), θα επιταχυνθούν από τη βαρύτητα κάτω από τη ράμπα στην ίδια ταχύτητα καθ 'όλη τη διάρκεια της καθόδου. Αλλά κάτι σταματά το στοίχημά σας "ορμή" και δεν παίρνετε το στοίχημα ...

... σοφά, όπως αποδεικνύεται. Αν και δεν έχει κανένα νόημα στην αρχή, η μπάλα του φίλου σας, από όλες τις εμφανίσεις, ένα δίδυμό σας, κινείται πιο αργά από τη δική σας. Αφού τελειώσει το πείραμα, ζητάτε να αποσυναρμολογηθούν οι μπάλες και να εξεταστούν για σημάδια απάτης. Αντ 'αυτού, το μόνο που βρίσκετε είναι ότι τα 5 κιλά μάζας στη μπάλα του φίλου σας περιορίστηκαν σε ένα λεπτό κέλυφος γύρω από το εξωτερικό, με το εσωτερικό να είναι κοίλο.

Τι γίνεται με την παραπάνω περιγραφή που γέρνει την τιμή του v υπέρ της μπάλας σας; Όπως συμβαίνει, ακριβώς όπωςδυνάμειςάλλαξε τογραμμική ορμήαντικειμένων μεγραμμική ταχύτητα​, ​ροπέςάλλαξε τοστροφορμήαντικειμένων μεγωνιακή ταχύτητα​.

Ένα άκαμπτο κυλιόμενο αντικείμενο έχει γραμμική ορμή και γωνιακή ορμή, επειδή καθώς το κέντρο μάζας του κινείται με σταθερή ταχύτητα v (ίση στην εφαπτομενική ταχύτητα της σφαίρας ή του τροχού), κάθε άλλο τμήμα του αντικειμένου περιστρέφεται γύρω από αυτό το κέντρο μάζας με γωνιακή ταχύτητα ω.

Το πώς κατανέμεται η μάζα μέσα σε ένα αντικείμενο δεν έχει σχέση με τη γραμμική ορμή του, αλλά καθορίζει εξαιρετικά την γωνιακή ορμή του. Αυτό το κάνει μέσω μιας ποσότητας "μάζας" (για περιστροφικούς σκοπούς) που ονομάζεται ροπή αδράνειας, υψηλότερες τιμές που συνεπάγεται τόσο μεγαλύτερη δυσκολία στο να περιστρέφεται κάτι όσο και μεγαλύτερη δυσκολία να το σταματήσει μόλις είναι ήδη περιστροφικός.

Η γωνιακή ορμή είναι ένα μέτρο του πόσο δύσκολο είναι να αλλάξετε την περιστροφική κίνηση ενός αντικειμένου. Εξαρτάται από τη στιγμή της αδράνειας του αντικειμένου και τη γωνιακή του ταχύτητα. Η γωνιακή ορμή είναι μια διατηρημένη ποσότητα, που σημαίνει ότι το άθροισμα της γωνιακής ορμής των σωματιδίων σε ένα κλειστό σύστημα είναι πάντα το ίδιο, ακόμη και όταν αυτό των μεμονωμένων σωματιδίων μπορεί να κυμαίνεται.

Η γωνιακή ορμή είναι, όπως σημειώνεται, επίσης συνάρτηση της κατανομής της μάζας γύρω από έναν άξονα. Για να αποκτήσετε μια διαισθητική αίσθηση αυτού, φανταστείτε να στέκεστε 1 πόδι από το κέντρο ενός τεράστιου γύρου που κάνει μια επανάσταση κάθε 10 δευτερόλεπτα. Τώρα φανταστείτε να βρίσκεστε στο ίδιο εργαλείο με την ίδια γωνιακή ταχύτητα ενώ στέκεστε 1μίλιαπό το κέντρο. Δεν χρειάζεται μεγάλη φαντασία για να κατανοήσουμε τη διαφορά στη γωνιακή ορμή σε αυτά τα δύο σενάρια.

​Η γωνιακή ορμή είναι το προϊόν της ροπής αδράνειας επί της γωνιακής ταχύτητάς της ή:
​

όπουμεγάλο= γωνιακή ορμή σε kg ∙ m²/s,Εγώ= ροπή αδράνειας σε kg ∙ m², και ω = γωνιακή ταχύτητα σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτο (rad / s).

• ​Εγώονομάζεται επίσης η δεύτερη στιγμή της περιοχής.

Σημειώστε ότι η συζήτηση έχει επεκταθεί από ένα σημείο μάζας σε ένα συμπαγές σώμα, όπως ένας κύλινδρος ή σφαίρα, περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα. Το κέντρο της μάζας ενός αντικειμένου συχνά δεν είναιγεωμετρικόςκέντρο, έτσι τιμές τουΕγώεξαρτάται από τον τρόπο διανομής της μάζας του αντικειμένου. Συχνά αυτό είναι συμμετρικό αλλά όχι ομοιόμορφο, όπως ένας κοίλος δίσκος με όλη τη μάζα του σε μια λεπτή λωρίδα στο εξωτερικό (με άλλα λόγια, ένα δαχτυλίδι).

Το διάνυσμα γωνιακής ορμής δείχνει κατά μήκος του άξονα περιστροφής, κάθετο προς το επίπεδο που σχηματίζεται απόρ, η κυκλική «σάρωση» οποιουδήποτε σημείου του αντικειμένου μέσω του διαστήματος.

Ένα γράφημα αναφοράς για την τιμή τουΕγώγια διαφορετικά κοινά σχήματα βρίσκεται στους πόρους. Χρησιμοποιήστε αυτά για να ξεκινήσετε μερικά βασικά προβλήματα γωνιακής ορμής.

• Σημειώστε ότιΕγώγια ένα σφαιρικό κέλυφος είναι (2/3) mr² ενώ η σφαίρα είναι (2/5) mr². Επιστρέφοντας στο στοίχημα στην εισαγωγή, τώρα μπορείτε να δείτε ότι η μπάλα του φίλου σας έχει (2/3) / (2/5) = 1,67 φορές τη στιγμή της αδράνειας ως δική σας, εξηγώντας τη δική σας νίκη στον "αγώνα"

1. Ένας δίσκος με περιστροφική αδράνειαΕγώ1,5 kg ∙ m²/ s περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα με γωνιακή ταχύτηταωαπό 8 rad / s. Τι είναι η γωνιακή του ορμήμεγάλο​?

2. Μια λεπτή ράβδος μήκους 15 m με μάζα 5 kg - το χέρι ενός τεράστιου ρολογιού - περιστρέφεται γύρω από ένα σημείο σταθερό στο ένα άκρο με γωνιακή ταχύτηταωαπό 2π rad / 60 s = (π / 30) rad / s. Ποια είναι η γωνιακή ορμή τηςμεγάλο​?

Αυτή τη φορά, πρέπει να αναζητήσετε την τιμή τουΕγώ. Για μια λεπτή ράβδο που κινείται με αυτόν τον τρόπο,Εγώ= (1/3) μρ²​.

Συγκρίνετε αυτό με την απάντηση στο πρώτο παράδειγμα. Σας εκπλήσσει αυτό; Γιατί ή γιατί όχι?

«Διατήρηση» σημαίνει κάτι διαφορετικό στη φυσική από ό, τι στον τομέα των οικοσυστημάτων. Απλώς σημαίνει ότι η συνολική ποσότητα των συντηρημένων ποσοτήτων (ενέργεια, ορμή, μάζα και αδράνεια είναι οι "τέσσερις μεγάλες" συντηρημένες ποσότητες στη φυσική) σε ένα σύστημα, συμπεριλαμβανομένου του σύμπαντος, παραμένει πάντα το ίδιο. Εάν επιχειρήσετε να «εξαλείψετε» ενέργεια, εμφανίζεται απλώς σε άλλη μορφή και οποιαδήποτε προσπάθεια «δημιουργίας» βασίζεται σε προϋπάρχουσα πηγή.

Ο νόμος της διατήρησης της γωνιακής ορμής αναφέρει ότι σε ένα κλειστό σύστημα, η συνολική γωνιακή ορμή δεν μπορεί να αλλάξει. Επειδή η γωνιακή ορμή εξαρτάται από τη γωνιακή ταχύτητα και τη ροπή αδράνειας, μπορεί κανείς να προβλέψει πώς οποιαδήποτε από αυτές τις ποσότητες πρέπει στη συνέχεια να αλλάξει σε σχέση μεταξύ τους σε μια δεδομένη κατάσταση.

• Τυπικά, δεδομένου ότι η ροπή μπορεί να εκφραστεί ωςτ= δμεγάλο/ dt (ο ρυθμός μεταβολής εάν η γωνιακή ορμή με το χρόνο), όταν το άθροισμα των ροπών σε ένα σύστημα είναι μηδέν, τότε dμεγάλοΤο / dt πρέπει επίσης να είναι μηδενικό και δεν υπάρχει καμία αλλαγή στη γωνιακή ορμή του συστήματος στο χρονικό πλαίσιο στο οποίο αξιολογείται το σύστημα. Αντίθετα, εάν το L δεν είναι σταθερό, αυτό συνεπάγεται ανισορροπία των ροπών στο σύστημα (δηλαδή,τ_καθαράείναιδενίσο με μηδέν).

Αυτή είναι μια σημαντική έννοια σε πολλά παραδείγματα μηχανικής από την καθημερινή ζωή. Ένα κλασικό παράδειγμα είναι ο παγοπέδιλος: Όταν πηδά στον αέρα για να κάνει έναν τριπλό άξονα, τραβά τα άκρα της σφιχτά. Αυτό μειώνει τη συνολική της ακτίνα γύρω από τον άξονα περιστροφής της, αλλάζοντας την κατανομή της μάζας της έτσι ώστε η στιγμή της αδράνειας της να μειώνεται (θυμηθείτε,Εγώείναι ανάλογο με το mρ²​).

Επειδή η γωνιακή ορμή διατηρείται, ωστόσο, εάνΕγώμειώνεται, η γωνιακή της ταχύτητα πρέπει να αυξηθεί. έτσι γυρίζει αρκετά γρήγορα για να ολοκληρώσει αρκετές περιστροφές στον αέρα! Όταν προσγειώνεται, κάνει το αντίστροφο - απλώνει τα άκρα της, αλλάζοντας την κατανομή της μάζας της για να αυξήσει τη στιγμή της αδράνειας της, επιβραδύνοντας τον ρυθμό περιστροφής της (γωνιακή ταχύτητα) με τη σειρά.

Σε όλη τη διάρκεια, η γωνιακή ορμή του συστήματος είναι σταθερή, αλλά οι μεταβλητές που καθορίζουν το μέγεθος της γωνιακής ορμής μπορούν να χειραγωγηθούν και σε στρατηγικό αποτέλεσμα, όπως στην περίπτωση αυτή.

Ξεκινώντας από το 1600, ο Ισαάκ Νεύτωνας ξεκίνησε να φέρνει επανάσταση στην μαθηματική φυσική. Έχοντας συν-εφευρέσει το λογισμό, ήταν σε θέση να κάνει επίσημους ισχυρισμούς σχετικά με τους πιθανώς καθολικούς νόμους διέπουν την κίνηση των αντικειμένων, τόσο μεταφραστικά (γραμμικά όσο και διαμέσου του χώρου) και περιστροφικά (κυκλικά και περίπου ένας άξονας).

• Τα διάφορανόμοι διατήρησηςπου αργότερα λαμβάνουν μεγάλη αναφορά δεν είναι παιδιά του Νεύτωνα, αλλά υπάρχουν σημαντικές σχέσεις μεταξύ αυτών και των νόμων της κίνησης.

​Ο πρώτος νόμος του Νεύτωναδηλώνει ότι ένα αντικείμενο σε κατάσταση ηρεμίας ή κίνησης με σταθερή ταχύτητα θα παραμείνει σε αυτήν την κατάσταση εκτός εάν μια εξωτερική δύναμη ενεργεί πάνω στο αντικείμενο. Αυτό ονομάζεται επίσης τονόμος της αδράνειας​

​Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωναισχυρίζεται ότι μια καθαρή δύναμηφά_καθαράδρα σε ένα σωματίδιο με μάζαΜ, θα τείνει να αλλάξει την ταχύτητα ή να επιταχύνει αυτήν τη μάζα. Αυτή η περίφημη σχέση εκφράζεται μαθηματικά ωςφά_καθαρά= μένα​.

​Ο τρίτος νόμος του Νεύτωναλέει ότι για κάθε δύναμη που υπάρχει στη φύση, υπάρχει μια δύναμη ίση σε μέγεθος αλλά δείχνει ακριβώς προς την αντίθετη κατεύθυνση. Αυτός ο νόμος έχει σημαντικές επιπτώσεις για τις διατηρημένες ιδιότητες της κίνησης, συμπεριλαμβανομένης της γωνιακής ορμής.

Τώρα είναι μια εξαιρετική στιγμή για να αναθεωρήσετε τη φύση, τους κανόνες και τις σχέσεις μεταξύ τουςδύναμη​, ​ορμή(ταχύτητα χρόνου μάζας) καιενέργεια, που ενημερώνουν όχι μόνο τις συζητήσεις σχετικά με τη γωνιακή ορμή αλλά και οτιδήποτε άλλο στην κλασική φυσική.

Όπως σημειώθηκε, εκτός εάν ένα αντικείμενο βιώνει εξωτερική δύναμη (ή στην περίπτωση περιστρεφόμενου αντικειμένου, εξωτερική ροπή), η κίνησή του συνεχίζεται ανεπηρέαστη. Στη Γη, ωστόσο, η βαρύτητα είναι σχεδόν πάντα στο μείγμα, όπως και οι μικρότεροι συντελεστές έλξης αέρα και διάφορα είδη τριβής δυνάμεις, οπότε τίποτα δεν συνεχίζει να κινείται εκτός και αν δοθεί περιστασιακά ενέργεια για να αντικαταστήσει αυτό που «παίρνει» από αυτή τη χρόνια «κίνηση» κλέφτες."

Για απλοποίηση, ένα σωματίδιο έχεισυνολική ενέργειαπου αποτελείται απόεσωτερική ενέργεια(π.χ., η δόνηση των μορίων του) καιμηχανική ενέργεια. Η μηχανική ενέργεια μετατρέπει το άθροισμα τουδυναμική ενέργεια(ΡΕ; "αποθηκευμένη" ενέργεια, συνήθως μέσω βαρύτητας) καικινητική ενέργεια(ΚΕ; ενέργεια κίνησης). Βοηθώντας, PE + KE + IE = μια σταθερά για όλα τα συστήματα, είτε πρόκειται για μάζα σημείου (μεμονωμένο σωματίδιο) είτε για ποικιλία μάζων που αλληλεπιδρούν.

Όταν ακούτε όρους που σχετίζονται με την κίνηση, όπως ταχύτητα, επιτάχυνση, μετατόπιση και ορμή, πιθανώς υποθέτετε από προεπιλογή ότι το περιβάλλον είναι γραμμική κίνηση. Η περιστροφική κίνηση, στην πραγματικότητα, έχει τις δικές της μοναδικές αλλά ανάλογες ποσότητες.

Ενώ η γραμμική μετατόπιση μετράται σε μέτρα (m) σε μονάδες SI, η γωνιακή μετατόπιση μετράται σε ακτίνια (2π rad = 360 μοίρες). Αναλόγως,γωνιακή ταχύτηταμετριέται σε rad / s και αντιπροσωπεύεται απόω, το ελληνικό γράμμα ωμέγα.

Ωστόσο, καθώς μια μάζα σημείου κινείται γύρω από τον άξονα περιστροφής του, εκτός από τη γωνιακή ταχύτητα, το σωματίδιο εντοπίζει μια κυκλική διαδρομή με δεδομένο ρυθμό, παρόμοια με τη γραμμική κίνηση. Αυτό το ποσοστό είναι τοεφαπτομενική ταχύτητα​ ​β_τ​​,και είναι ίσο με rω,όπουρείναι η ακτίνα ή η απόσταση από τον άξονα περιστροφής.

Σχετικά,γωνιώδης επιτάχυνση​ ​α(Ελληνικά άλφα) είναι ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής ταχύτηταςωκαι μετράται σε rad / s². Υπάρχει επίσης ένακεντροπεταλική επιτάχυνση​ ​ένα_ντοδίνεται απόβ_τ²/r,που κατευθύνεται προς τα μέσα προς τον άξονα περιστροφής.

• Κατά τη συζήτηση της γωνιακής ορμής, το αντίστοιχο του mβσε γραμμικούς όρους, θα δοθεί σύντομη διεξοδική συζήτηση, γνωρίζουμε ότι ένα από τα συστατικά τουΕγώ, μπορεί να θεωρηθεί ως περιστροφικό ανάλογο μάζας.

Η γωνιακή ορμή, όπως η δύναμη, η μετατόπιση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση, είναι αποσότητα φορέα, επειδή τέτοιες μεταβλητές περιλαμβάνουν και τα δύο aμέγεθος(δηλαδή, ένας αριθμός) και aκατεύθυνση, με δεδομένους τους όρους των μεμονωμένων συστατικών x-, y- και z. Οι ποσότητες που περιέχουν μόνο ένα αριθμητικό στοιχείο, όπως μάζα, χρόνος, ενέργεια και εργασία, είναι γνωστές ωςκλιμακωτές ποσότητες​.