Οι ταλαντώσεις βρίσκονται γύρω μας, από τον μακροσκοπικό κόσμο των εκκρεμών και τη δόνηση των χορδών έως τον μικροσκοπικό κόσμο της κίνησης των ηλεκτρονίων στα άτομα και της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας.
Η κίνηση όπως αυτή που υφίσταται ένα προβλέψιμο επαναλαμβανόμενο μοτίβο είναι γνωστή ωςπεριοδική κίνησηήταλαντωτική κίνησηκαι η εκμάθηση σχετικά με τις ποσότητες που σας επιτρέπουν να περιγράψετε οποιονδήποτε τύπο ταλαντωτικής κίνησης είναι ένα βασικό βήμα στην εκμάθηση της φυσικής αυτών των συστημάτων.
Ένας συγκεκριμένος τύπος περιοδικής κίνησης που είναι εύκολο να περιγραφεί μαθηματικά είναιαπλή αρμονική κίνηση, αλλά μόλις καταλάβετε τις βασικές έννοιες, είναι εύκολο να γενικευτείτε σε πιο περίπλοκα συστήματα.
Περιοδική κίνηση
Η περιοδική κίνηση, ή απλά επαναλαμβανόμενη κίνηση, ορίζεται από τρεις βασικές ποσότητες: πλάτος, περίοδος και συχνότητα. οεύρος ΕΝΑοποιασδήποτε περιοδικής κίνησης είναι η μέγιστη μετατόπιση από τη θέση ισορροπίας (την οποία μπορείτε να σκεφτείτε ως η θέση «ανάπαυσης», όπως η στάσιμη θέση μιας συμβολοσειράς ή το χαμηλότερο σημείο ενός εκκρεμούς μονοπάτι).
οπερίοδος Τοποιασδήποτε ταλαντωτικής κίνησης είναι ο χρόνος που χρειάζεται για να ολοκληρώσει το αντικείμενο έναν «κύκλο» κίνησης. Για παράδειγμα, ένα εκκρεμές σε ένα ρολόι μπορεί να ολοκληρώνει έναν πλήρη κύκλο κάθε δύο δευτερόλεπτα, και έτσι θα είχεΤ= 2 δευτερόλεπτα.
οσυχνότητα φάείναι το αντίστροφο της περιόδου, ή με άλλα λόγια, ο αριθμός κύκλων που ολοκληρώθηκαν ανά δευτερόλεπτο (ή μονάδα χρόνου,τ). Για το εκκρεμές σε ρολόι, ολοκληρώνει μισό κύκλο ανά δευτερόλεπτο, και έτσι έχειφά= 0,5 Hz, όπου 1 hertz (Hz) σημαίνει μία ταλάντωση ανά δευτερόλεπτο.
Απλή αρμονική κίνηση (SHM)
Η απλή αρμονική κίνηση (SHM) είναι μια ειδική περίπτωση περιοδικής κίνησης, όπου η μόνη δύναμη είναι μια δύναμη αποκατάστασης και η κίνηση είναι μια απλή ταλάντωση. Μία από τις βασικές ιδιότητες του SHM είναι ότι η δύναμη αποκατάστασης είναι άμεσα ανάλογη με τη μετατόπιση από τη θέση ισορροπίας.
Επιστρέφοντας στο παράδειγμα μιας συμβολοσειράς που απομακρύνεται, όσο πιο μακριά την τραβάτε από τη θέση ηρεμίας, τόσο πιο γρήγορα θα κινηθεί πίσω προς αυτήν. Η άλλη σημαντική ιδιότητα της απλής αρμονικής κίνησης είναι ότι το πλάτος είναι ανεξάρτητο από τη συχνότητα και την περίοδο της κίνησης.
Η απλούστερη περίπτωση απλής αρμονικής κίνησης είναι όταν η ταλαντωτική κίνηση είναι μόνο προς μία κατεύθυνση (δηλαδή, κίνηση εμπρός και πίσω), αλλά εσείς μπορεί να μοντελοποιήσει άλλους τύπους κινήσεων (π.χ. κυκλική κίνηση) ως συνδυασμό πολλαπλών περιπτώσεων απλής αρμονικής κίνησης σε διαφορετικές κατευθύνσεις, πολύ.
Μερικά παραδείγματα απλής αρμονικής κίνησης περιλαμβάνουν μάζα σε ελατήριο που ανεβαίνει πάνω και κάτω ως αποτέλεσμα επέκτασης ή συμπίεσης του ελατηρίου, εκκρεμές μικρής γωνίας λικνίζονται προς τα πίσω και προς τα εμπρός υπό την επίδραση της βαρύτητας και ακόμη και δισδιάστατα παραδείγματα κυκλικής κίνησης όπως ένα παιδί που κινείται γύρω από ένα καρουσέλ ή χαρούμενος-γύρος.
Εξισώσεις κίνησης για απλούς αρμονικούς ταλαντωτές
Όπως επισημάνθηκε στην προηγούμενη ενότητα, υπάρχει μια ενδιαφέρουσα σχέση μεταξύ ομοιόμορφης κυκλικής κίνησης και απλής αρμονικής κίνησης. Φανταστείτε ένα σημείο σε έναν κύκλο να περιστρέφεται με σταθερό ρυθμό σε σταθερό άξονα και ότι παρακολουθείτε τοΧ-συντεταγμένο αυτού του σημείου σε όλη την κυκλική του κίνηση.
Οι εξισώσεις που περιγράφουν τοΧθέση,Χταχύτητα καιΧΗ επιτάχυνση αυτού του σημείου περιγράφει την κίνηση ενός απλού αρμονικού ταλαντωτή. ΧρησιμοποιώνταςΧ(τ) για θέση ως συνάρτηση του χρόνου,β(τ) για ταχύτητα ως συνάρτηση του χρόνου καιένα(τ) για επιτάχυνση ως συνάρτηση του χρόνου, οι εξισώσεις είναι:
x (t) = A \ sin (ωt) \\ v (t) = −Aω \ cos (ωt) \\ a (t) = −Aω ^ 2 \ sin (ωt)
Οπουωείναι η γωνιακή συχνότητα (σχετίζεται με τη συνηθισμένη συχνότητα απόω = 2πφά) σε μονάδες ακτινίων ανά δευτερόλεπτο και χρησιμοποιούμε χρόνοτόπως στις περισσότερες εξισώσεις. Όπως αναφέρεται στην πρώτη ενότητα,ΕΝΑείναι το πλάτος της κίνησης.
Από αυτούς τους ορισμούς, μπορείτε να χαρακτηρίσετε την απλή αρμονική κίνηση και την ταλαντωτική κίνηση γενικά. Για παράδειγμα, μπορείτε να δείτε από τη ημιτονοειδή λειτουργία τόσο στις εξισώσεις θέσης όσο και στην επιτάχυνση ότι αυτά τα δύο διαφέρουν μεταξύ τους, και έτσι η μέγιστη επιτάχυνση συμβαίνει στη μέγιστη μετατόπιση. Η εξίσωση ταχύτητας εξαρτάται από το συνημίτονο, το οποίο παίρνει τη μέγιστη (απόλυτη) τιμή του ακριβώς στη μέση μεταξύ της μέγιστης επιτάχυνσης (ή μετατόπισης) στοΧή -Χκατεύθυνση, ή με άλλα λόγια, στη θέση ισορροπίας.
Μάζα σε μια άνοιξη
Ο νόμος του Hooke περιγράφει μια μορφή απλής αρμονικής κίνησης για ένα ελατήριο και δηλώνει ότι η δύναμη αποκατάστασης για το ελατήριο είναι ανάλογη της μετατόπισης από την ισορροπία (ΔΧ, δηλαδή, αλλαγήΧ), και έχει μια «σταθερά αναλογικότητας» που ονομάζεται σταθερά ελατηρίου,κ. Στα σύμβολα, η εξίσωση δηλώνει:
F_ {spring} = −kΔx
Το αρνητικό σημάδι εδώ σας λέει ότι η δύναμη είναι μια δύναμη αποκατάστασης, η οποία ενεργεί στην αντίθετη κατεύθυνση με την μετατόπιση και μετριέται στη μονάδα δύναμης SI, το Νεύτωνα (Ν).
Για μια μάζαΜσε ένα ελατήριο, καλείται ξανά η μέγιστη μετατόπιση (πλάτος)ΕΝΑ, καιωορίζεται ως:
ω = \ sqrt {\ frac {k} {m}}
Αυτή η εξίσωση μπορεί να χρησιμοποιηθεί με την εξίσωση θέσης για απλή αρμονική κίνηση (για να βρει τη θέση της μάζας ανά πάσα στιγμή) και στη συνέχεια να αντικατασταθεί στη θέση του ΔΧστο νόμο του Hooke για να καθορίσετε το μέγεθος της δύναμης αποκατάστασης ανά πάσα στιγμήτ. Η πλήρης σχέση για τη δύναμη αποκατάστασης θα ήταν:
F_ {spring} = −k A \ sin \ bigg (\ sqrt {\ frac {k} {m}} t \ bigg)
Εκκρεμές μικρής γωνίας
Για ένα εκκρεμές μικρής γωνίας, η δύναμη αποκατάστασης είναι ανάλογη με τη μέγιστη γωνιακή μετατόπιση (δηλαδή, η αλλαγή από τη θέση ισορροπίας που εκφράζεται ως γωνία). Εδώ το πλάτοςΕΝΑείναι η μέγιστη γωνία του εκκρεμούς καιωορίζεται ως:
ω = \ sqrt {\ frac {g} {L}}
Οπουσολ= 9,81 m / s2 καιμεγάλοείναι το μήκος του εκκρεμούς. Και πάλι, αυτό μπορεί να αντικατασταθεί από τις εξισώσεις κίνησης για απλή αρμονική κίνηση, εκτός από το ότι πρέπει να το σημειώσετεΧσε αυτήν την περίπτωση, θα αναφερόταν στογωνιώδηςμετατόπιση και όχι η γραμμική μετατόπιση στοx-κατεύθυνση. Αυτό ενδείκνυται μερικές φορές χρησιμοποιώντας το σύμβολο theta (θστη θέση τουΧσε αυτήν την περίπτωση.
Υγρές ταλαντώσεις
Σε πολλές περιπτώσεις στη φυσική, επιπλοκές όπως η τριβή παραμελούνται για να κάνουν τους υπολογισμούς απλούστερους σε καταστάσεις στις οποίες πιθανότατα θα ήταν αμελητέες. Υπάρχουν εκφράσεις που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε εάν πρέπει να υπολογίσετε μια περίπτωση όπου η τριβή καθίσταται σημαντική, αλλά το βασικό σημείο Θυμηθείτε είναι ότι με την τριβή που λαμβάνεται υπόψη, οι ταλαντώσεις γίνονται «αποσβεσμένες», που σημαίνει ότι μειώνονται σε πλάτος με κάθε ταλάντωση. Ωστόσο, η περίοδος και η συχνότητα της ταλάντωσης παραμένουν αμετάβλητα ακόμη και παρουσία τριβής.
Αναγκαστικές ταλαντώσεις και συντονισμός
Ο συντονισμός είναι βασικά το αντίθετο μιας υγρής ταλάντωσης. Όλα τα αντικείμενα έχουν μια φυσική συχνότητα, στην οποία «τους αρέσει» να ταλαντεύονται, και εάν η ταλάντωση επιβάλλεται ή οδηγείται σε αυτή τη συχνότητα (με περιοδική δύναμη), το πλάτος της κίνησης θα αυξηθεί. Η συχνότητα με την οποία συμβαίνει ο συντονισμός ονομάζεται συχνότητα συντονισμού και, γενικά, όλα τα αντικείμενα έχουν τη δική τους συχνότητα συντονισμού, η οποία εξαρτάται από τα φυσικά χαρακτηριστικά τους.
Όπως με την απόσβεση, ο υπολογισμός της κίνησης υπό αυτές τις συνθήκες γίνεται πιο περίπλοκος, αλλά είναι πιθανό εάν αντιμετωπίζετε ένα πρόβλημα που το απαιτεί. Ωστόσο, αρκεί να κατανοήσουμε τις βασικές πτυχές του τρόπου με τον οποίο συμπεριφέρεται το αντικείμενο σε αυτές τις καταστάσεις τους περισσότερους σκοπούς, ειδικά αν είναι η πρώτη φορά που μαθαίνετε για τη φυσική του ταλαντώσεις!