Projektilbewegungbezieht sich auf die Bewegung eines Teilchens, das eine Anfangsgeschwindigkeit erhält, aber anschließend keinen anderen Kräften als der Schwerkraft ausgesetzt ist.
Dazu gehören Probleme, bei denen ein Partikel in einem Winkel zwischen 0 und 90 Grad zur Horizontalen geschleudert wird, wobei die Horizontale in der Regel der Boden ist. Der Einfachheit halber wird angenommen, dass diese Projektile in der (x, y) Flugzeug, mitxfür horizontale Verschiebung undjavertikale Verschiebung.
Der Weg, den ein Projektil nimmt, wird als sein. bezeichnetFlugbahn. (Beachten Sie, dass die gemeinsame Verbindung in "Projektil" und "Flugbahn" die Silbe "-ject" ist, das lateinische Wort für "werfen". Jemanden auszuwerfen bedeutet buchstäblich, ihn rauszuwerfen.) Der Ausgangspunkt des Projektils in Problemen, bei denen Sie die Flugbahn berechnen müssen, wird der Einfachheit halber normalerweise mit (0, 0) angenommen, sofern nicht anders angegeben.
Die Flugbahn eines Projektils ist eine Parabel (oder zeichnet zumindest einen Teil einer Parabel nach), wenn das Teilchen abgeschossen wird auf eine Weise, die eine horizontale Bewegungskomponente ungleich null hat und kein Luftwiderstand die Partikel.
Die kinematischen Gleichungen
Die interessierenden Variablen der Bewegung eines Teilchens sind seine Ortskoordinatenxundja, seine Geschwindigkeitv, und seine Beschleunigungein, alles in Bezug auf eine gegebene verstrichene Zeittseit Beginn des Problems (wenn das Partikel gestartet oder freigesetzt wird). Beachten Sie, dass das Weglassen der Masse (m) impliziert, dass die Schwerkraft auf der Erde unabhängig von dieser Größe wirkt.
Beachten Sie auch, dass diese Gleichungen die Rolle des Luftwiderstands ignorieren, der in realen Erdsituationen eine Widerstandskraft erzeugt, die der Bewegung entgegenwirkt. Dieser Faktor wird in höheren Mechanikkursen eingeführt.
Variablen mit einem tiefgestellten „0“ beziehen sich auf den Wert dieser Menge zum Zeitpunktt= 0 und sind Konstanten; Aufgrund des gewählten Koordinatensystems ist dieser Wert oft 0, und die Gleichung wird so viel einfacher. Die Beschleunigung wird bei diesen Problemen als konstant behandelt (und ist in y-Richtung und gleich -G,oder–9,8 m/s2, die Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft nahe der Erdoberfläche).
Horizontale Bewegung:
x=x_0+v_xt
- Der Begriff
vxist die konstante x-Geschwindigkeit.
Vertikale Bewegung:
y=y_0+((v_{0y}+v_y)/2) t\\ v_y=v_{0y}-gt\\ y=y_0+v_{0y}t-(1/2)gt^2\\ v_y^ 2=v_{0y}^2-2g (y-y_0)
Beispiele für Projektilbewegungen
Der Schlüssel zur Lösung von Problemen, die Trajektorienberechnungen beinhalten, ist zu wissen, dass die horizontalen (x) und vertikalen (y) Komponenten von Bewegungen können, wie oben gezeigt, separat analysiert werden, und ihre jeweiligen Beiträge zur Gesamtbewegung werden am Ende des Problem.
Projektilbewegungsprobleme zählen als Freifallprobleme, denn egal wie die Dinge nach der Zeit aussehent= 0, die einzige Kraft, die auf das sich bewegende Objekt einwirkt, ist die Schwerkraft.
- Beachten Sie, dass der Wert der Beschleunigung in diesen Gleichungen und Problemen -g ist, da die Schwerkraft nach unten wirkt und dies als negative y-Richtung angenommen wird.
Flugbahnberechnungen
1. Die schnellsten Werfer im Baseball können einen Ball mit etwas mehr als 100 Meilen pro Stunde oder 45 m/s werfen. Wenn ein Ball mit dieser Geschwindigkeit senkrecht nach oben geworfen wird, wie hoch wird er und wie lange dauert es, bis er wieder an den Punkt zurückkehrt, an dem er losgelassen wurde?
Hiervy0= 45 m/s, -G= –9,8 m/s, und die interessierenden Größen sind die endgültige Höhe odery,und die Gesamtzeit zurück zur Erde. Die Gesamtzeit ist eine zweiteilige Berechnung: Zeit bis y und Zeit zurück bis y0 = 0. Für den ersten Teil des Problemsvja,wenn der Ball seine Spitzenhöhe erreicht, ist 0.
Beginnen Sie mit der Gleichungvja2= v0y2 – 2g (j – j0)und stecke die Werte ein, die du hast:
0 = (45)^2 – (2)(9,8)(y – 0) = 2.025 – 19,6y\impliziert y=103,3\text{m}
Die gleichungvja = v0y – gtzeigt, dass die dafür benötigte Zeit t (45/9,8) = 4,6 Sekunden beträgt. Um die Gesamtzeit zu erhalten, addieren Sie diesen Wert zu der Zeit, die der Ball benötigt, um frei zu seinem Startpunkt zu fallen. Dies ist gegeben durchy = y0 + v0yt – (1/2)gt2, wo jetzt, weil der Ball noch in dem Moment ist, bevor er zu sinken beginnt,v0y = 0.
Lösung:
103.3=(1/2)gt^2\impliziert t=4.59\text{s}
Somit beträgt die Gesamtzeit 4,59 + 4,59 = 9,18 Sekunden. Das vielleicht überraschende Ergebnis, dass jede "Etappe" der Reise, rauf und runter, gleich lange dauerte, unterstreicht die Tatsache, dass hier nur die Schwerkraft im Spiel ist.
2. Die Reichweitengleichung:Wenn ein Projektil mit einer Geschwindigkeit abgefeuert wirdv0und einem Winkel θ von der Horizontalen hat sie anfängliche horizontale und vertikale Komponenten der Geschwindigkeitv0x = v0(cos θ) undv0y = v0(Sünde ).
weilvja = v0y – gt, undvja = 0 wenn das Projektil seine maximale Höhe erreicht, ist die Zeit bis zur maximalen Höhe gegeben durch t =v0y/g. Aufgrund der Symmetrie ist die Zeit, die benötigt wird, um zum Boden zurückzukehren (oder y = y0) ist einfach 2t = 2v0y/G.
Kombiniert man diese schließlich mit der Beziehung x =v0xt, die zurückgelegte horizontale Strecke bei einem Startwinkel θ isθ
R=2\frac{v_0^2\sin{\theta}\cos{\theta}}{g}=\frac{v_0^2\sin{2\theta}}{g}
(Der letzte Schritt ergibt sich aus der trigonometrischen Identität 2 sinθ ⋅ cosθ = sin 2θ.)
Da sin2θ bei θ = 45 Grad seinen maximalen Wert von 1 hat, maximiert die Verwendung dieses Winkels den horizontalen Abstand für eine gegebene Geschwindigkeit bei
R=\frac{v_0^2}{g}