Was macht eine Beziehung zu einer Funktion?

Mathematische Funktionen sind leistungsstarke Werkzeuge für Wirtschaft, Ingenieurwesen und Naturwissenschaften, da sie als Miniaturmodelle realer Phänomene fungieren können. Um Funktionen und Beziehungen zu verstehen, müssen Sie sich ein wenig mit Konzepten wie Mengen, geordneten Paaren und Beziehungen auseinandersetzen. Eine Funktion ist eine spezielle Art von Relation, die nur eins hatjaWert für eine gegebenexWert. Es gibt andere Arten von Beziehungen, die wie Funktionen aussehen, aber nicht der strengen Definition einer solchen entsprechen.

TL; DR (zu lang; nicht gelesen)

Eine Relation ist eine Menge von Zahlen, die in Paaren organisiert sind. Eine Funktion ist eine spezielle Art von Relation, die nur eins hatjaWert für eine gegebenexWert.

Um Beziehungen und Funktionen zu beschreiben, hilft es, zunächst Mengen und geordnete Paare zu diskutieren. Kurz gesagt, ein Satz von Zahlen ist eine Sammlung von Zahlen, die normalerweise in geschweiften Klammern enthalten sind, wie etwa {15,1, 2/3} oder {0,.22}. Normalerweise definieren Sie eine Menge mit einer Regel, beispielsweise alle geraden Zahlen zwischen 2 und 10, einschließlich: {2,4,6,8,10}.

Eine Menge kann beliebig viele oder gar keine Elemente haben, d. h. die Nullmenge {}. Ein geordnetes Paar ist eine Gruppe von zwei in Klammern eingeschlossenen Zahlen wie (0,1) und (45, −2). Der Einfachheit halber können Sie den ersten Wert in einem geordneten Paar alsxWert, und die zweite diejaWert. Eine Relation organisiert geordnete Paare in einer Menge. Zum Beispiel ist die Menge {(1,0), (1,5), (2,10), (2,15)} eine Relation. Sie können diexundjaWerte einer Relation in einem Graphen unter Verwendung derxundjaAchsen.

Eine Funktion ist eine Relation, in der ein beliebigesxWert hat nur einen entsprechendenjaWert. Sie könnten denken, dass bei geordneten Paaren jedesxhat nur einenjaWert sowieso. Beachten Sie jedoch im obigen Beispiel einer Beziehung, dass diexWerte 1 und 2 haben jeweils zwei entsprechendejaWerte 0 und 5 bzw. 10 und 15. Diese Beziehung ist keine Funktion. Die Regel gibt der Funktionsrelation eine Definitenz, die sonst nicht existiert, im Sinne vonxWerte. Du könntest fragen, wannxist 1, was ist das?jaWert? Für die obige Beziehung hat die Frage keine eindeutige Antwort; es könnte 0, 5 oder beides sein.

Untersuchen Sie nun ein Beispiel für eine Beziehung, die eine echte Funktion ist: {(0,1), (1,5), (2, 4), (3, 6)}. DasxWerte werden nirgendwo wiederholt. Betrachten Sie als weiteres Beispiel {( −1,0), (0,5), (1,5), (2,10), (3,10)}. EtwasjaWerte werden wiederholt, aber dies verstößt nicht gegen die Regel. Das kann man immer noch sagen, wenn der Wert vonxist 0,jaist definitiv 5.

Sie können feststellen, ob es sich bei einer Beziehung um eine Funktion handelt, indem Sie die Zahlen in einem Diagramm darstellen und den vertikalen Linientest anwenden. Wenn keine vertikale Linie, die den Graphen durchquert, ihn an mehr als einem Punkt schneidet, ist die Beziehung eine Funktion.

Das Aufschreiben einer Menge geordneter Paare als Funktion ist ein einfaches Beispiel, wird aber schnell mühsam, wenn Sie mehr als ein paar Zahlen haben. Um dieses Problem anzugehen, schreiben Mathematiker Funktionen in Form von Gleichungen, wie z

Mit dieser kompakten Gleichung können Sie beliebig viele geordnete Paare generieren: Setzen Sie verschiedene Werte ein fürx, mach die Mathe und raus komm deinjaWerte.

Viele Funktionen dienen als mathematische Modelle, die es dem Menschen ermöglichen, Details von Phänomenen zu erfassen, die sonst mysteriös bleiben würden. Um ein einfaches Beispiel zu nehmen, die Entfernungsgleichung für ein fallendes Objekt lautet

wotist die Zeit in Sekunden undGist die Erdbeschleunigung. Geben Sie 9,8 für die Erdgravitation in Metern pro Sekunde zum Quadrat ein, und Sie können die Entfernung eines Objekts zu einem beliebigen Zeitwert ermitteln. Beachten Sie, dass Modelle bei aller Nützlichkeit Einschränkungen haben. Die Beispielgleichung funktioniert gut, um eine Stahlkugel fallen zu lassen, aber keine Feder, da die Luft die Feder verlangsamt.