In einer geometrischen Folge ist jeder Term gleich dem vorherigen Term mal einem konstanten Multiplikator ungleich Null, der als gemeinsamer Faktor bezeichnet wird. Geometrische Folgen können eine feste Anzahl von Termen haben oder unendlich sein. In beiden Fällen können die Terme einer geometrischen Folge schnell sehr groß, sehr negativ oder sehr nahe an Null werden. Im Vergleich zu arithmetischen Folgen ändern sich die Begriffe viel schneller, aber während unendliche Arithmetik Folgen nehmen stetig zu oder ab, geometrische Folgen können je nach Gemeinsamkeit gegen Null gehen Faktor.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
Eine geometrische Folge ist eine geordnete Liste von Zahlen, in der jeder Term das Produkt des vorherigen Termes und eines festen, von Null verschiedenen Multiplikators ist, der als gemeinsamer Faktor bezeichnet wird. Jeder Term einer geometrischen Folge ist das geometrische Mittel der ihm vorausgehenden und folgenden Terme. Unendliche geometrische Folgen mit einem gemeinsamen Faktor zwischen +1 und −1 nähern sich dem Grenzwert von Null als Terme werden addiert, während Folgen mit einem gemeinsamen Faktor größer als +1 oder kleiner als −1 zu plus oder minus gehen Unendlichkeit.
Wie geometrische Sequenzen funktionieren
Eine geometrische Folge wird durch ihre Startnummer definiertein, der gemeinsame Faktorrund die Anzahl der BegriffeS. Die entsprechende allgemeine Form einer geometrischen Folge ist:
a, ar, ar^2, ar^3,..., ar^{S-1}
Die allgemeine Formel für Termneineiner geometrischen Folge (d. h. eines beliebigen Termes innerhalb dieser Folge) ist:
a_n = ar^{n-1}
Die rekursive Formel, die einen Begriff in Bezug auf den vorherigen Begriff definiert, lautet:
a_n = ra_{n-1}
Ein Beispiel für eine geometrische Folge mit der Startnummer 3, dem gemeinsamen Faktor 2 und acht Termen ist 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. Berechnet man den letzten Term mit der oben aufgeführten allgemeinen Form, so lautet der Term:
a_8 = 3 × 2^{8-1} = 3 × 2^7 = 3 × 128 = 384
Verwenden der allgemeinen Formel für Term 4:
a_4 = 3 × 2^{4-1} = 3 × 2^3 = 3 × 8 = 24
Wenn Sie die rekursive Formel für Term 5 verwenden möchten, dann Term 4 = 24 und a5 gleich:
a_5= 2 × 24 = 48
Geometrische Sequenzeigenschaften
Geometrische Folgen haben besondere Eigenschaften hinsichtlich des geometrischen Mittels. Das geometrische Mittel zweier Zahlen ist die Quadratwurzel ihres Produkts. Zum Beispiel ist das geometrische Mittel von 5 und 20 10, weil das Produkt 5 × 20 = 100 und die Quadratwurzel von 100 10 ist.
In geometrischen Folgen ist jeder Term das geometrische Mittel des Termes davor und des Termes danach. Zum Beispiel in der Reihenfolge 3, 6, 12... oben ist 6 das geometrische Mittel von 3 und 12, 12 ist das geometrische Mittel von 6 und 24 und 24 ist das geometrische Mittel von 12 und 48.
Andere Eigenschaften geometrischer Folgen hängen vom gemeinsamen Faktor ab. Wenn der gemeinsame Faktorrgrößer als 1 ist, nähern sich unendliche geometrische Folgen positiver Unendlichkeit. Wennrzwischen 0 und 1 liegt, nähern sich die Sequenzen Null. Wennrzwischen null und -1 liegt, nähern sich die Folgen null, aber die Terme wechseln zwischen positiven und negativen Werten. Wennrkleiner als -1 ist, tendieren die Terme sowohl in Richtung positiver als auch negativer Unendlichkeit, wenn sie zwischen positiven und negativen Werten wechseln.
Geometrische Folgen und ihre Eigenschaften sind besonders nützlich in wissenschaftlichen und mathematischen Modellen realer Prozesse. Die Verwendung spezifischer Sequenzen kann bei der Untersuchung von Populationen helfen, die über einen bestimmten Zeitraum mit einer festen Rate wachsen, oder Investitionen, die Zinsen einbringen. Die allgemeinen und rekursiven Formeln ermöglichen es, anhand des Startpunkts und des gemeinsamen Faktors genaue Werte in der Zukunft vorherzusagen.