Tricks zum Faktorisieren quadratischer Gleichungen

Quadratische Gleichungen sind Formeln, die in der Form Ax^2 + Bx + C = 0 geschrieben werden können. Manchmal kann eine quadratische Gleichung durch Faktorisieren oder Ausdrücken der Gleichung als Produkt einzelner Terme vereinfacht werden. Dies kann die Lösung der Gleichung erleichtern. Faktoren können manchmal schwer zu identifizieren sein, aber es gibt Tricks, die den Prozess vereinfachen können.

Untersuchen Sie die quadratische Gleichung, um festzustellen, ob es eine Zahl und/oder Variable gibt, die jeden Term der Gleichung teilen kann. Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung 2x^2 + 10x + 8 = 0. Die größte Zahl, die sich gleichmäßig in jeden Term der Gleichung aufteilen lässt, ist 2, also ist 2 der größte gemeinsame Faktor (GCF).

Dividiere jeden Term in der Gleichung durch den GCF und multipliziere die gesamte Gleichung mit dem GCF. In der Beispielgleichung 2x^2 + 10x + 8 = 0 würde dies 2((2/2)x^2 + (10/2)x + (8/2)) = 2(0/2) ergeben.

Vereinfachen Sie den Ausdruck, indem Sie die Division in jedem Term vervollständigen. Die endgültige Gleichung darf keine Brüche enthalten. Im Beispiel würde dies 2(x^2 + 5x + 4) = 0 ergeben.

Untersuchen Sie die quadratische Gleichung, um zu sehen, ob sie die Form Ax^2 + 0x – C = 0 hat, wobei A = y^2 und C = z^2 ist. Wenn dies der Fall ist, drückt die quadratische Gleichung die Differenz zweier Quadrate aus. Zum Beispiel in der Gleichung 4x^2 + 0x – 9 = 0, A = 4 = 2^2 und C = 9 = 3^2, also y = 2 und z = 3.

Faktorisieren Sie die Gleichung in die Form (yx + z)(yx – z) = 0. In der Beispielgleichung gilt y = 2 und z = 3; daher lautet die faktorisierte quadratische Gleichung (2x + 3)(2x – 3) = 0. Dies wird immer die faktorisierte Form einer quadratischen Gleichung sein, die die Differenz von Quadraten ist.

Untersuche die quadratische Gleichung, um zu sehen, ob sie ein perfektes Quadrat ist. Wenn die quadratische Gleichung ein perfektes Quadrat ist, kann sie in der Form y^2 + 2yz + z^2 geschrieben werden, beispielsweise die Gleichung 4x^2 + 12x + 9 = 0, die umgeschrieben werden kann als (2x)^2 + 2(2x)(3) + (3)^2. In diesem Fall ist y = 2x und z = 3.

Prüfen Sie, ob der Term 2yz positiv ist. Wenn der Term positiv ist, sind die Faktoren der perfekten quadratischen quadratischen Gleichung immer (y + z)(y + z). In der obigen Gleichung ist beispielsweise 12x positiv, daher sind die Faktoren (2x + 3) (2x + 3) = 0.

Prüfen Sie, ob der Term 2yz negativ ist. Wenn der Term negativ ist, sind die Faktoren immer (y – z)(y – z). Wenn die obige Gleichung beispielsweise den Term -12x anstelle von 12x hätte, wären die Faktoren (2x – 3)(2x – 3) = 0.

Stellen Sie die faktorisierte Form der quadratischen Gleichung auf, indem Sie (vx + w)(yx + z) = 0 schreiben. Erinnern Sie sich an die Regeln für die FOIL-Multiplikation (First, Outside, Inside, Last). Da der erste Term der quadratischen Gleichung ein Ax^2 ist, müssen beide Faktoren der Gleichung ein x enthalten.

Löse nach v und y auf, indem du alle Faktoren von A in der quadratischen Gleichung berücksichtigst. Wenn A = 1, dann sind sowohl v als auch y immer 1. In der Beispielgleichung x^2 - 9x + 8 = 0, A = 1, können also v und y in der faktorisierten Gleichung gelöst werden, um (1x + w)(1x + z) = 0 zu erhalten.

Bestimmen Sie, ob w und z positiv oder negativ sind. Es gelten folgende Regeln: C = positiv und B = positiv; beide Faktoren haben ein + Vorzeichen C = positiv und B = negativ; beide Faktoren haben ein – Vorzeichen C = negativ und B = positiv; der Faktor mit dem größten Wert hat ein + Vorzeichen C = negativ und B = negativ; der Faktor mit dem größten Wert hat ein - Vorzeichen In der Beispielgleichung aus Schritt 2 ist B = -9 und C = +8, also beide Faktoren der Gleichung haben - Vorzeichen, und die faktorisierte Gleichung kann geschrieben werden als (1x – w)(1x – z) = 0.

Machen Sie eine Liste aller Faktoren von C, um die Werte für w und z zu finden. Im obigen Beispiel ist C = 8, die Faktoren sind also 1 und 8, 2 und 4, -1 und -8 und -2 und -4. Die Faktoren müssen sich zu B addieren, was in der Beispielgleichung -9 ist, also w = -1 und z = -8 (oder umgekehrt) und unsere Gleichung wird vollständig faktorisiert als (1x – 1)(1x – 8) = 0.

Reduzieren Sie die Gleichung mit der oben aufgeführten Methode des größten gemeinsamen Faktors auf ihre einfachste Form. In der Gleichung 9x^2 + 27x – 90 = 0 ist der GCF beispielsweise 9, also vereinfacht sich die Gleichung zu 9(x^2 + 3x – 10).

Zeichnen Sie einen Kasten und teilen Sie ihn in eine Tabelle mit zwei Zeilen und zwei Spalten auf. Setzen Sie Ax^2 der vereinfachten Gleichung in Zeile 1, Spalte 1 und C der vereinfachten Gleichung in Zeile 2, Spalte 2.

Multiplizieren Sie A mit C und finden Sie alle Faktoren des Produkts. Im obigen Beispiel ist A = 1 und C = -10, also ist das Produkt (1)(-10) = -10. Die Faktoren von -10 sind -1 und 10, -2 und 5, 1 und -10 und 2 und -5.

Bestimmen Sie, welche Faktoren des Produkts AC zu B addieren. Im Beispiel ist B = 3. Die Faktoren von -10, die sich zu 3 addieren, sind -2 und 5.

Multiplizieren Sie jeden der identifizierten Faktoren mit x. Im obigen Beispiel würde dies -2x und 5x ergeben. Tragen Sie diese beiden neuen Begriffe in die beiden leeren Felder im Diagramm ein, sodass die Tabelle wie folgt aussieht:

x^2 | 5x

-2x | -10

Ermitteln Sie den GCF für jede Zeile und Spalte des Felds. Im Beispiel beträgt der CGF für die obere Reihe x und für die untere Reihe -2. Der GCF für die erste Spalte ist x und für die zweite Spalte ist 5.

Schreiben Sie die faktorisierte Gleichung in der Form (w + v) (y + z), indem Sie die Faktoren aus den Diagrammzeilen für w und v und die Faktoren aus den Diagrammspalten für y und z verwenden. Wenn die Gleichung in Schritt 1 vereinfacht wurde, denken Sie daran, den GCF der Gleichung in den faktorisierten Ausdruck aufzunehmen. Im Beispiel lautet die faktorisierte Gleichung 9(x – 2)(x + 5) = 0.

Stellen Sie sicher, dass die Gleichung in quadratischer Standardform vorliegt, bevor Sie mit einer der beschriebenen Methoden beginnen.

Es ist nicht immer einfach, ein perfektes Quadrat oder eine Quadratdifferenz zu identifizieren. Wenn Sie schnell erkennen können, dass die quadratische Gleichung, die Sie faktorisieren möchten, eine dieser Formen hat, kann dies eine große Hilfe sein. Verbringen Sie jedoch nicht viel Zeit damit, dies herauszufinden, da die anderen Methoden schneller sein könnten.

Überprüfen Sie Ihre Arbeit immer, indem Sie die Faktoren mit der FOIL-Methode multiplizieren. Die Faktoren sollten immer auf die ursprüngliche quadratische Gleichung zurückmultipliziert werden.