Das Faktorisieren von Polynomen hilft Mathematikern, die Nullstellen oder Lösungen einer Funktion zu bestimmen. Diese Nullen zeigen kritische Änderungen der steigenden und fallenden Raten an und vereinfachen im Allgemeinen den Analyseprozess. Bei Polynomen vom Grad drei oder höher, was bedeutet, dass der höchste Exponent der Variablen drei oder größer ist, kann das Faktorisieren mühsamer werden. In einigen Fällen verkürzen Gruppierungsmethoden die Arithmetik, aber in anderen Fällen müssen Sie möglicherweise mehr über die Funktion oder das Polynom wissen, bevor Sie mit der Analyse fortfahren können.
Analysieren Sie das Polynom, um das Faktorisieren durch Gruppieren zu berücksichtigen. Wenn das Polynom in der Form vorliegt, in der die Entfernung des größten gemeinsamen Faktors (GCF) aus dem ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme zeigt einen weiteren gemeinsamen Faktor, Sie können die Gruppierung verwenden Methode. Sei zum Beispiel F(x) = x³ – x² – 4x + 4. Wenn Sie den GCF aus den ersten und letzten beiden Termen entfernen, erhalten Sie Folgendes: x²(x – 1) – 4 (x – 1). Jetzt können Sie (x – 1) aus jedem Teil herausziehen, um (x² – 4) (x – 1) zu erhalten. Mit der „Quadratdifferenz“-Methode können Sie noch weiter gehen: (x – 2) (x + 2) (x – 1). Sobald jeder Faktor in seiner Primzahl oder nichtfaktorierbaren Form vorliegt, sind Sie fertig.
Suchen Sie nach einer Differenz oder Summe von Würfeln. Wenn das Polynom nur zwei Terme mit jeweils einem perfekten Würfel hat, können Sie es anhand bekannter kubischer Formeln faktorisieren. Für Summen (x³ + y³) = (x + y) (x² – xy + y²). Für Differenzen (x³ – y³) = (x – y) (x² + xy + y²). Sei zum Beispiel G(x) = 8x³ – 125. Die Faktorisierung dieses Polynoms dritten Grades basiert dann auf einer Differenz von Würfeln wie folgt: (2x – 5) (4x² + 10x + 25), wobei 2x die Kubikwurzel von 8x³ und 5 die Kubikwurzel von 125 ist. Da 4x² + 10x + 25 eine Primzahl ist, sind Sie mit dem Factoring fertig.
Sehen Sie, ob es eine GCF gibt, die eine Variable enthält, die den Grad des Polynoms reduzieren kann. Wenn beispielsweise H(x) = x³ – 4x ist, erhält man x (x² – 4), wenn man den GCF von „x“ herausrechnet. Dann können Sie das Polynom mit der Differenz der Quadrate-Technik weiter in x (x – 2) (x + 2) zerlegen.
Verwenden Sie bekannte Lösungen, um den Grad des Polynoms zu reduzieren. Sei zum Beispiel P(x) = x³ – 4x² – 7x + 10. Da es keine GCF oder Differenz/Summe der Würfel gibt, müssen Sie andere Informationen verwenden, um das Polynom zu faktorisieren. Sobald Sie herausfinden, dass P(c) = 0 ist, wissen Sie, dass (x – c) ein Faktor von P(x) ist, basierend auf dem "Faktorensatz" der Algebra. Suchen Sie daher nach einem solchen "c." In diesem Fall ist P(5) = 0, also muss (x – 5) ein Faktor sein. Bei synthetischer oder langer Division erhält man einen Quotienten von (x² + x – 2), der in (x – 1) (x + 2) eingerechnet wird. Daher ist P(x) = (x – 5) (x – 1) (x + 2).