Eines der kniffligsten Konzepte in der Algebra beinhaltet die Manipulation von Exponenten oder Potenzen. Häufig erfordern Probleme, dass Sie die Gesetze der Exponenten verwenden, um Variablen mit Exponenten zu vereinfachen, oder Sie müssen eine Gleichung mit Exponenten vereinfachen, um sie zu lösen. Um mit Exponenten zu arbeiten, müssen Sie die grundlegenden Exponentenregeln kennen.
Aufbau eines Exponenten
Exponentenbeispiele sehen aus wie 23, was als zwei hoch drei oder zwei hochgerechnet oder als 7. gelesen werden würde6, was als sieben hoch sechs gelesen werden würde. In diesen Beispielen sind 2 und 7 die Koeffizienten oder Basiswerte, während 3 und 6 die Exponenten oder Potenzen sind. Exponentenbeispiele mit Variablen sehen so ausx4 oder 9ja2, wobei 1 und 9 die Koeffizienten sind,xundjasind die Variablen und 4 und 2 sind die Exponenten oder Potenzen.
Addieren und Subtrahieren mit nicht ähnlichen Begriffen
Wenn Ihnen ein Problem zwei Terme oder Blöcke liefert, die nicht exakt dieselben Variablen oder Buchstaben haben, die zu exakt denselben Exponenten erhoben werden, können Sie sie nicht kombinieren. Beispielsweise,
(4x^2)(y^3) + (6x^4)(y^2)
nicht weiter vereinfacht (kombiniert) werden konnte, weil dieXs und dieJas haben in jedem Begriff unterschiedliche Befugnisse.
Hinzufügen von Like-Begriffen
Wenn zwei Terme dieselben Variablen haben, die zu exakt denselben Exponenten erhoben wurden, addieren Sie ihre Koeffizienten (Basen) und verwenden Sie die Antwort als neuen Koeffizienten oder Basis für den kombinierten Term. Die Exponenten bleiben gleich. Beispielsweise:
3x^2 + 5x^2 = 8x^2
Subtrahieren ähnlicher Begriffe
Wenn zwei Terme dieselben Variablen mit exakt denselben Exponenten haben, subtrahieren Sie den zweiten Koeffizienten vom ersten und verwenden Sie die Antwort als neuen Koeffizienten für den kombinierten Term. Die Befugnisse selbst ändern sich nicht. Beispielsweise:
5y^3 - 7y^3 = -2y^3
Multiplizieren
Wenn Sie zwei Terme multiplizieren (es spielt keine Rolle, ob sie gleich sind), multiplizieren Sie die Koeffizienten miteinander, um den neuen Koeffizienten zu erhalten. Fügen Sie dann nacheinander die Potenzen jeder Variablen hinzu, um die neuen Potenzen zu erhalten. Wenn du multipliziert hast
(6x^3z^2)(2xz^4)
du würdest damit enden
12x^4z^6
Macht einer Macht
Wenn ein Term, der Variablen mit Exponenten enthält, potenziert wird, potenzieren Sie den Koeffizienten und multiplizieren jede vorhandene Potenz mit der zweiten Potenz, um den neuen Exponenten zu finden. Beispielsweise:
(5x^6y^2)^2 = 25x^{12}y^4
Erste Potenzexponentenregel
Alles, was in die erste Potenz erhoben wird, bleibt gleich. Zum Beispiel 71 wäre nur 7 und (x2r3)1 würde vereinfachen zux2r3.
Exponenten von Null
Alles, was mit 0 potenziert wird, wird zur Zahl 1. Es spielt keine Rolle, wie kompliziert oder groß der Begriff ist. Beispielsweise:
(5x^6y^2z^3)^0 = 12.345.678.901^0 = 1
Dividieren (wenn der größere Exponent oben ist)
Um zu dividieren, wenn Sie dieselbe Variable im Zähler und Nenner haben und der größere Exponent oben steht, Subtrahiere den unteren Exponenten vom oberen Exponenten, um den Wert des Exponenten der Variablen zu berechnen calculate oben. Eliminieren Sie dann die untere Variable. Reduziere alle Koeffizienten wie einen Bruch. Beispielsweise:
\frac{3x^6}{6x^2} = \frac{3}{6}x^{(6-2)} = \frac{x^4}{2}
Dividieren (wenn der kleinere Exponent oben ist)
Um zu dividieren, wenn im Zähler und Nenner die gleiche Variable vorhanden ist und der größere Exponent auf dem steht unten, subtrahiere den oberen Exponenten vom unteren Exponenten, um den neuen Exponentialwert auf dem zu berechnen Unterseite. Löschen Sie dann die Variable aus dem Zähler und reduzieren Sie alle Koeffizienten wie einen Bruch. Wenn oben keine Variablen mehr vorhanden sind, lassen Sie eine 1. Beispielsweise:
\frac{5z^2}{15z^7} = \frac{1}{3z^5}
Negative Exponenten
Um negative Exponenten zu eliminieren, setzen Sie den Term unter 1 und ändern Sie den Exponenten so, dass der Exponent positiv ist. Beispielsweise,
x^{-6} = \frac{1}{x^6}
Brüche mit negativen Exponenten umkehren, um den Exponenten positiv zu machen:
\bigg(\frac{2}{3} \bigg)^{-3} = \bigg(\frac{3}{2}\bigg)^3
Wenn eine Division beteiligt ist, verschieben Sie Variablen von unten nach oben oder umgekehrt, um ihre Exponenten positiv zu machen. Beispielsweise:
\begin{aligned} 8^{-2}÷2^{-4} &=\bigg(\frac{1}{8^2}\bigg)÷\bigg(\frac{1}{2^4} \bigg) \\ &=\bigg(\frac{1}{64}\bigg)÷\bigg(\frac{1}{16}\bigg) \\ &= \bigg(\frac{1}{64 }\bigg) × (16) \\ &=4 \end{ausgerichtet}