So berechnen Sie den Mittelwert und die Varianz für eine Binomialverteilung

Wenn Sie 100 Mal würfeln und zählen, wie oft Sie eine Fünf würfeln, führen Sie ein binomiales Experiment durch: Sie wiederholen den Würfelwurf 100 Mal, genannt "n"; es gibt nur zwei Ergebnisse, entweder Sie würfeln eine Fünf oder Sie würfeln nicht; und die Wahrscheinlichkeit, dass Sie eine Fünf würfeln, genannt "P", ist jedes Mal, wenn Sie würfeln, genau gleich. Das Ergebnis des Experiments wird als Binomialverteilung bezeichnet. Der Durchschnitt gibt an, wie viele Fünfer Sie voraussichtlich würfeln werden, und die Varianz hilft Ihnen zu bestimmen, wie sich Ihre tatsächlichen Ergebnisse von den erwarteten Ergebnissen unterscheiden können.

Angenommen, Sie haben drei grüne Murmeln und eine rote Murmel in einer Schüssel. In Ihrem Experiment wählen Sie eine Murmel aus und notieren "Erfolg", wenn sie rot ist, oder "Misserfolg", wenn sie grün ist, und legen dann die Murmel zurück und wählen erneut aus. Die Erfolgswahrscheinlichkeit - - eine rote Murmel auszuwählen - ist eins von vier oder 1/4, was 0,25 entspricht. Wenn Sie das Experiment 100 Mal durchführen, würden Sie erwarten, dass Sie in einem Viertel der Zeit oder insgesamt 25 Mal eine rote Murmel zeichnen. Dies ist der Mittelwert der Binomialverteilung, der definiert ist als die Anzahl der Versuche, 100, mal der Erfolgswahrscheinlichkeit für jeden Versuch, 0,25, oder 100 mal 0,25, was 25 entspricht.

Wenn Sie 100 Murmeln auswählen, werden Sie nicht immer genau 25 rote Murmeln auswählen; Ihre tatsächlichen Ergebnisse variieren. Wenn die Erfolgswahrscheinlichkeit "p" 1/4 oder 0,25 beträgt, bedeutet dies, dass die Misserfolgswahrscheinlichkeit 3/4 oder 0,75 beträgt, was "(1 - p)" ist. Das Varianz ist definiert als die Anzahl der Versuche mal "p" mal "(1-p)." Für das Marmorexperiment beträgt die Varianz 100 mal 0,25 mal 0,75, oder 18.75.

Da die Varianz in Quadrateinheiten angegeben ist, ist sie nicht so intuitiv wie der Mittelwert. Wenn Sie jedoch die Quadratwurzel der Varianz, die als Standardabweichung bezeichnet wird, ziehen, sagt sie Ihnen, um wie viel Sie im Durchschnitt erwarten können, dass Ihre tatsächlichen Ergebnisse variieren. Die Quadratwurzel von 18,75 ist 4,33, was bedeutet, dass Sie erwarten können, dass die Anzahl der roten Murmeln zwischen 21 (25 minus 4) und 29 (25 plus 4) für jede 100 Auswahl liegt.