Bevor Sie rationale Ausdrücke vereinfachen oder anderweitig manipulieren, nehmen Sie sich einen Moment Zeit, um zu überprüfen, was der rationale Ausdruck selbst ist: Ein Bruch mit einem Polynom sowohl im Zähler als auch im Nenner. Oder anders ausgedrückt, ein Verhältnis von einem Polynom zu einem anderen. Sobald Sie einen rationalen Ausdruck identifiziert haben, läuft die Vereinfachung auf drei Schritte hinaus.
Die Schritte zur Vereinfachung rationaler Ausdrücke
Der Prozess zur Vereinfachung rationaler Funktionen folgt einem recht einfachen Fahrplan. Das erste, was Sie tun müssen, ist, ähnliche Terme zu kombinieren, falls Sie dies noch nicht getan haben, damit Sie die Polynome klar sehen können.
Als nächstes faktoriere jedes Polynom. Manchmal müssen Sie nur jeden Begriff ausschreiben. Zum Beispiel ist klar, dass 4x (das tatsächlich ein Polynom ist, obwohl es nur einen Term hat) hat zwei Faktoren: 4 und x. Aber bei komplizierteren Polynomen ist Ihr bestes Werkzeug oft das Erkennen von Mustern für bestimmte Arten von Polynomen, die Sie bereits kennen. Wenn Sie beispielsweise Ihre Formeln genau beachtet haben, erinnern Sie sich vielleicht daran, dass ein Polynom der Form
ein2 - b2 Faktoren aus zu (a + b) (a - b).Sobald Ihre Polynome vollständig faktorisiert sind, löschen Sie im letzten Schritt alle gemeinsamen Faktoren, die sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommen. Das Ergebnis ist Ihr vereinfachtes Polynom.
Tipps
Was ist, wenn die Polynome in Ihrem rationalen Ausdruck keine Form haben, die Sie leicht faktorisieren können? Es gibt andere Techniken, mit denen Sie sie faktorisieren können, z. B. das Quadrat vervollständigen oder die quadratische Formel verwenden.
Eine Warnung vor dem Nenner
Sie werden vielleicht nicht überrascht sein zu hören, dass es hier einen kleinen Haken gibt. Normalerweise ist die Domäne (oder eine Menge möglicher x Werte) für Ihren rationalen Ausdruck werden als Menge aller reellen Zahlen angenommen. Aber wenn irgendetwas passiert, um den Nenner Ihres Bruchs zu Null zu machen, ist das Ergebnis ein undefinierter Bruch.
Was würde deinen Nenner null machen? Meist genügt eine kleine Untersuchung, um das herauszufinden. Zum Beispiel, wenn der Nenner Ihres Bruchs auf die Faktoren (x + 2) (x - 2), dann der Wert x = -2 würde den ersten Faktor gleich Null machen, und x = 2 würde den zweiten Faktor gleich Null machen.
Daher müssen diese beiden Werte, -2 und 2, aus dem Bereich Ihres rationalen Ausdrucks ausgeschlossen werden. Normalerweise notieren Sie dies mit dem "Ungleich"-Zeichen oder ≠. Wenn Sie beispielsweise -2 und 2 aus der Domain ausschließen müssen, schreiben Sie x ≠ -2, 2.
Vereinfachen rationaler Ausdrücke: Beispiele
Nachdem Sie nun den Prozess der Vereinfachung rationaler Ausdrücke verstanden haben, ist es an der Zeit, sich einige Beispiele anzusehen.
Beispiel 1: Vereinfachen Sie den rationalen Ausdruck (x2 - 4) / (x2+ 4x + 4)
Hier können keine ähnlichen Begriffe kombiniert werden, daher können Sie diesen ersten Schritt überspringen. Als nächstes können Sie mit Ihren scharfen Augen und ein wenig Übung feststellen, dass Zähler und Nenner leicht faktorisiert werden können:
(x + 2) (x - 2) / (x + 2) (x + 2)
Vielleicht erkennst du das auch (x + 2) ist sowohl im Zähler als auch im Nenner ein Faktor. Sobald Sie den geteilten Faktor stornieren, bleibt Ihnen Folgendes:
(x - 2) / (x + 2)
Sie haben Ihren rationalen Ausdruck so weit wie möglich vereinfacht, aber Sie müssen noch etwas tun: Identifizieren alle "Nullen" oder Wurzeln, die zu einem undefinierten Bruch führen würden, sodass Sie diese von der Domain. In diesem Fall ist durch eine Untersuchung leicht zu erkennen, dass wenn x = -2, der Faktor unten ist gleich Null. Ihr vereinfachter rationaler Ausdruck lautet also tatsächlich:
(x - 2) / (x + 2), x ≠ -2
Beispiel 2: Vereinfachen Sie den rationalen Ausdruck x / (x2 - 4x)
Es gibt keine vergleichbaren Begriffe zum Kombinieren, so dass Sie direkt zum Factoring durch Prüfung übergehen können. Es ist nicht allzu schwer zu erkennen, dass Sie einen Faktor einbeziehen können x aus dem unteren Term, was Ihnen gibt:
x / x (x - 4)
Sie können die stornieren x Faktor aus Zähler und Nenner, so dass Sie:
1 / (x - 4)
Jetzt ist Ihr rationaler Ausdruck vereinfacht, aber Sie müssen auch alle beachten x Werte, die einen undefinierten Bruch ergeben würden. In diesem Fall, x = 4 würde einen Wert von Null im Nenner zurückgeben. Ihre Antwort lautet also:
1 / (x - 4), x ≠ 4
