Algebra ist der erste echte konzeptionelle Sprung, den Schüler in der Welt der Mathematik machen müssen, indem sie lernen, Variablen zu manipulieren und mit Gleichungen zu arbeiten. Wenn Sie beginnen, mit Gleichungen zu arbeiten, werden Sie auf einige allgemeine Herausforderungen stoßen, darunter Exponenten, Brüche und mehrere Variablen. All dies kann mit Hilfe einiger grundlegender Strategien gemeistert werden.
Die grundlegende Strategie für algebraische Gleichungen
Die grundlegende Strategie zum Lösen einer algebraischen Gleichung besteht darin, zuerst den variablen Term auf einer Seite zu isolieren der Gleichung, und wenden Sie dann nach Bedarf inverse Operationen an, um alle Koeffizienten zu entfernen oder Exponenten. Eine inverse Operation macht eine andere Operation rückgängig; beispielsweise macht die Division die Multiplikation eines Koeffizienten "rückgängig", und die Quadratwurzel "macht" die Quadrierungsoperation eines Exponenten zweiter Potenz "rückgängig".
Beachten Sie, dass Sie beim Anwenden einer Operation auf eine Seite einer Gleichung dieselbe Operation auf die andere Seite der Gleichung anwenden müssen. Wenn Sie diese Regel beibehalten, können Sie die Schreibweise der Terme einer Gleichung ändern, ohne ihre Beziehung zueinander zu ändern.
Gleichungen mit Exponenten lösen
Die Arten von Gleichungen mit Exponenten, denen Sie während Ihrer Algebra-Reise begegnen werden, könnten leicht ein ganzes Buch füllen. Konzentrieren Sie sich vorerst darauf, die grundlegendsten Exponentengleichungen zu beherrschen, bei denen Sie einen einzelnen Variablenterm mit einem Exponenten haben. Beispielsweise:
y^2 + 3 = 19
Subtrahiere 3 von beiden Seiten der Gleichung, wobei der variable Term auf einer Seite isoliert bleibt:
y^2 = 16
Entfernen Sie den Exponenten von der Variablen, indem Sie ein Radikal mit demselben Index anwenden. Denken Sie daran, dass Sie dies auf beiden Seiten der Gleichung tun müssen. In diesem Fall bedeutet das, die Quadratwurzel beider Seiten zu ziehen:
\sqrt{y^2} = \sqrt{16}
Was vereinfacht zu:
y = 4
Gleichungen mit Brüchen lösen
Was ist, wenn Ihre Gleichung einen Bruch beinhaltet? Betrachten Sie das Beispiel von
\frac{3}{4}(x + 7) = 6
Wenn Sie den Bruch 3/4 über (x+ 7), kann es schnell chaotisch werden. Hier ist eine viel einfachere Strategie.
Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner des Bruchs. In diesem Fall bedeutet dies, dass beide Seiten des Bruchs mit 4 multipliziert werden:
\frac{3}{4}(x + 7) × 4 = 6 × 4
Vereinfachen Sie beide Seiten der Gleichung. Dies funktioniert zu:
3(x + 7) = 24
Sie können wieder vereinfachen, was zu:
3x + 21 = 24
Subtrahiere 21 von beiden Seiten und isoliere den variablen Term auf einer Seite der Gleichung:
3x = 3
Zum Schluss dividieren Sie beide Seiten der Gleichung durch 3, um die Auflösung nach abzuschließenx:
x = 1
Eine Gleichung mit zwei Variablen lösen
Wenn Sie habeneinerGleichung mit zwei Variablen, werden Sie wahrscheinlich gebeten, nur nach einer dieser Variablen aufzulösen. In diesem Fall folgen Sie ungefähr dem gleichen Verfahren, das Sie für jede algebraische Gleichung mit einer Variablen verwenden würden. Betrachten Sie das Beispiel
5x + 4 = 2y
wenn du gebeten wirst zu lösen fürx.
Subtrahiere 3 von jeder Seite der Gleichung und belasse diexBegriff allein auf einer Seite des Gleichheitszeichens:
5x = 2y - 4
Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch 5, um den Koeffizienten aus dem zu entfernenxBegriff:
x = \frac{2y - 4}{5}
Wenn Sie keine anderen Informationen erhalten, ist dies so weit, wie Sie die Berechnungen durchführen können.
Zwei Gleichungen mit zwei Variablen lösen
Wenn Sie ein System (oder eine Gruppe) vonzweiGleichungen, die die gleichen zwei Variablen enthalten, bedeutet dies normalerweise, dass die Gleichungen miteinander verbunden sind – und Sie können eine Technik namens Substitution verwenden, um Werte für beide Variablen zu finden. Betrachten Sie die Gleichung aus dem letzten Beispiel plus eine zweite verwandte Gleichung, die dieselben Variablen verwendet:
5x + 4 = 2y \\ x + 3y = 23
Wählen Sie eine Gleichung aus und lösen Sie diese Gleichung nach einer der Variablen. Verwenden Sie in diesem Fall das, was Sie bereits über die erste Gleichung aus dem vorherigen Beispiel wissen, für die Sie bereits gelöst habenx:
x = \frac{2y - 4}{5}
Setze das Ergebnis aus Schritt 1 in die andere Gleichung ein. Mit anderen Worten, ersetzen Sie den Wert (2ja– 4)/5 für alle Fälle vonxin der anderen Gleichung. Dadurch erhalten Sie eine Gleichung mit nur einer Variablen:
\frac{2y – 4}{5} + 3y = 23
Vereinfachen Sie die Gleichung aus Schritt 2 und lösen Sie nach der verbleibenden Variablen auf, die in diesem Fall isty.
Beginnen Sie, indem Sie beide Seiten mit 5 multiplizieren:
5 × \bigg(\frac{2y - 4}{5} + 3y\bigg) = 5 × 23
Dies vereinfacht sich zu:
2 Jahre - 4 + 15 Jahre = 115
Nach der Kombination ähnlicher Begriffe vereinfacht sich dies weiter zu:
17y = 119
Und schließlich, nachdem Sie beide Seiten durch 17 geteilt haben, haben Sie:
y = 7
Setzen Sie den Wert aus Schritt 3 in die Gleichung aus Schritt 1 ein. Dies gibt Ihnen:
x = \frac{(2 × 7) - 4}{5}
Was es vereinfacht, den Wert von reveal zu offenbarenx:
x = 2
Die Lösung für dieses Gleichungssystem ist alsox= 2 undja = 7.