Das Faktorisieren eines Polynoms oder Trinoms bedeutet, dass Sie es als Produkt ausdrücken. Das Faktorisieren von Polynomen und Trinomen ist wichtig, wenn Sie nach Nullen auflösen. Die Faktorisierung erleichtert nicht nur das Auffinden der Lösung, sondern da diese Ausdrücke Exponenten beinhalten, kann es mehr als eine Lösung geben. Es gibt mehrere Ansätze zum Faktorisieren von Polynomen und Trinomen, und der verwendete Ansatz wird variieren. Zu diesen Methoden gehören das Finden des größten gemeinsamen Faktors, die Faktorisierung nach Gruppierung und die FOIL-Methode.
Suchen Sie nach dem größten gemeinsamen Faktor, falls vorhanden, bevor Sie ein Polynom oder Trinom faktorisieren. Im Allgemeinen ist dies am schnellsten die Primfaktorzerlegung – d. h. die Verwendung von Primzahlen, um die Zahl als Produkt auszudrücken. In einigen Polynomen kann der größte gemeinsame Faktor auch die Variable umfassen.
Betrachten Sie die Zahlen 20 und 30. Die Primfaktorzerlegung von 20 ist 2 x 2 x 5 und die Primfaktorzerlegung von 30 ist 2 x 3 x 5. Die gemeinsamen Faktoren sind zwei und fünf. Zwei mal fünf ist gleich 10, also ist 10 der größte gemeinsame Faktor.
Überprüfen Sie das Ergebnis der Faktorisierung durch Multiplikation. Sie können den Ausdruck 7x^2 + 14 bis 7(x^2 + 2) faktorisieren. Wenn diese Faktorisierung multipliziert wird, kehrt sie zum ursprünglichen Ausdruck 7x^2 + 14 zurück und ist daher korrekt.
Betrachten Sie das Polynom x^3 + x^2 + 2x + 2, bei dem es keinen anderen Faktor als einen gibt, der allen Termen gemeinsam ist.
Faktor x^3 + x^2 und 2x + 2 getrennt: x^3 + x^2 = x^2(x+1) und 2x + 2 = 2(x+1). Somit ist x^3 + x^2 + 2x + 2 = x^2(x+1) + 2(x+1) = (x^2+2)(x+1). Im letzten Schritt rechnen Sie x+1 heraus, da es sich um einen gemeinsamen Faktor handelt.
Zerlegen Sie Trinome vom Typ ax^2 + bx + c mit der Methode FOIL — first, outside, inner, last —. Ein faktorisiertes Trinom besteht aus zwei Binomen. Zum Beispiel der Ausdruck (x+2)(x+5) = x^2 + 5x + 2x + 2(5) = x^2 + 7x + 10. Wenn der führende Koeffizient a eins ist, ist der Koeffizient b die Summe der konstanten Terme der Binome – in diesem Fall zwei und fünf – und der konstante Term des Trinoms c ist das Produkt dieser Begriffe.
Ziehen Sie den größten gemeinsamen Faktor heraus, wenn es einen gibt. Finden Sie zwei Faktoren von a und erstellen Sie eine Liste aller möglichen Faktoren, bevor Sie fortfahren, wenn a keine Eins oder keine Primzahl ist. Multiplizieren Sie jede Zahl mit x. Dies sind die ersten Terme jedes Binomials. In vielen Trinomen ist der Koeffizient a gleich 1. Betrachten Sie das Beispiel 3x^2 - 10x - 8. Es gibt keinen gemeinsamen Faktor und die einzigen Möglichkeiten für die ersten Terme sind 3x und x. Dies liefert die ersten Terme der Binome: (3x+)(x+).
Finden Sie die letzten Terme der Binomiale, indem Sie multiplizieren, um eine Zahl gleich c zu finden. Im obigen Beispiel sollten die letzten Terme ein Produkt von -8 haben. Es gibt eine Reihe von Faktorisierungen für -8, einschließlich 8 und -1 und 2 und -4. Machen Sie eine Liste aller möglichen Faktoren, bevor Sie fortfahren.
Suchen Sie nach äußeren und inneren Produkten, die sich aus den obigen Schritten ergeben, für die die Summe bx ist. Testen Sie die im vorherigen Schritt gefundenen Faktoren durch Versuch und Irrtum. Überprüfen Sie die Antwort, indem Sie mit der FOIL-Methode multiplizieren. (3x + 2)(x - 4) = 3x^2 - 12x + 2x - 8 = 3x^2 - 10x - 8
Verweise
- Einführende und mittlere Algebra; Marvin Bittinger und Judith Beecher; 2007
Über den Autor
Mit Sitz in Athen, Georgia, begann Sophie Watson 2010 als selbstständige Auftragnehmerin freiberuflich zu arbeiten. Sie schreibt für verschiedene Websites und befasst sich mit Themen wie Gesundheit, Mode, Innenarchitektur, Elternschaft und Hausreparatur. Watson absolviert derzeit einen Bachelor-Abschluss in Rechnungswesen an der University of Phoenix.
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