Wie man Gleichungssysteme grafisch auflöst

Gleichungssysteme können helfen, reale Fragen in allen möglichen Bereichen zu lösen, von der Chemie über die Wirtschaft bis zum Sport. Sie zu lösen ist nicht nur für deine Mathenoten wichtig; Es kann Ihnen viel Zeit sparen, egal ob Sie versuchen, Ziele für Ihr Unternehmen oder Ihr Sportteam zu setzen.

TL; DR (zu lang; nicht gelesen)

Um ein Gleichungssystem grafisch zu lösen, zeichnen Sie jede Linie auf derselben Koordinatenebene und sehen Sie, wo sie sich schneiden.

Stellen Sie sich zum Beispiel vor, Sie und Ihr Freund bauen einen Limonadenstand auf. Sie beschließen zu teilen und zu erobern, also geht Ihr Freund zum Basketballplatz in der Nachbarschaft, während Sie an der Straßenecke Ihrer Familie bleiben. Am Ende des Tages bündeln Sie Ihr Geld. Zusammen haben Sie 200 Dollar verdient, aber Ihr Freund hat 50 Dollar mehr verdient als Sie. Wie viel Geld hat jeder von euch verdient?

Oder denken Sie an Basketball: Schüsse außerhalb der 3-Punkte-Linie sind 3 Punkte wert, Körbe innerhalb der 3-Punkte-Linie sind 2 Punkte wert und Freiwürfe sind nur 1 Punkt wert. Ihr Gegner liegt 19 Punkte vor Ihnen. Welche Kombinationen von Körben könnten Sie machen, um aufzuholen?

Die grafische Darstellung ist eine der einfachsten Möglichkeiten, Gleichungssysteme zu lösen. Alles, was Sie tun müssen, ist, beide Linien auf derselben Koordinatenebene zu zeichnen und dann zu sehen, wo sie sich schneiden.

Zuerst müssen Sie die Wortaufgabe als Gleichungssystem schreiben. Weisen Sie den Unbekannten Variablen zu. Rufen Sie das Geld an, das Sie verdienenJa, und das Geld, das dein Freund verdientF​.

Jetzt haben Sie zwei Arten von Informationen: Informationen darüber, wie viel Geld Sie zusammen verdient haben, und Informationen darüber, wie das Geld, das Sie verdient haben, im Vergleich zu dem Geld Ihres Freundes steht. Jedes davon wird zu einer Gleichung.

Schreiben Sie für die erste Gleichung:

da sich Ihr Geld plus das Geld Ihres Freundes auf 200 $ summiert.

Schreiben Sie als nächstes eine Gleichung, um den Vergleich zwischen Ihren Einnahmen zu beschreiben.

weil der Betrag, den Sie verdient haben, 50 Dollar weniger ist als der, den Ihr Freund verdient hat. Du könntest diese Gleichung auch schreiben alsJa​ + 50 = ​F, da das, was Sie plus 50 Dollar verdient haben, dem entspricht, was Ihr Freund verdient hat. Dies sind verschiedene Arten, dasselbe zu schreiben, und werden Ihre endgültige Antwort nicht ändern.

Das Gleichungssystem sieht also so aus:

Als nächstes müssen Sie beide Gleichungen auf derselben Koordinatenebene darstellen. Stellen Sie Ihren Betrag grafisch dar,Ja, auf derja-Achse und der Betrag Ihres Freundes,F, auf derx-Achse (es ist eigentlich egal, was welche ist, solange Sie sie richtig beschriften). Sie können Millimeterpapier und einen Bleistift, einen Handheld-Grafikrechner oder einen Online-Grafikrechner verwenden.

Im Moment ist eine Gleichung in Standardform und eine in Steigungsabschnittsform. Das ist nicht unbedingt ein Problem, aber aus Gründen der Konsistenz bringen Sie beide Gleichungen in die Steigungsabschnittsform.

Konvertieren Sie also für die erste Gleichung von der Standardform in die Steigungsabschnittsform. Das heißt auflösen nachJa; mit anderen Worten, bekommenJaallein auf der linken Seite des Gleichheitszeichens. Also subtrahiereFvon beiden Seiten:

Denken Sie daran, dass in der Form des Steigungsabschnitts die Zahl vor dem F die Steigung und die Konstante der y-Achsenabschnitt ist.

Um die erste Gleichung grafisch darzustellen,Ja​ = −​F+ 200, zeichnen Sie einen Punkt bei (0, 200) und verwenden Sie dann die Steigung, um weitere Punkte zu finden. Die Steigung ist −1, also gehe eine Einheit nach unten und über eine Einheit und zeichne einen Punkt. Dadurch entsteht ein Punkt bei (1, 199) und wenn Sie den Vorgang ab diesem Punkt wiederholen, erhalten Sie einen weiteren Punkt bei (2, 198). Dies sind winzige Bewegungen auf einer großen Linie, also zeichnen Sie einen weiteren Punkt an derx-Abfangen, um sicherzustellen, dass die Dinge auf lange Sicht gut grafisch dargestellt werden. WennJa= 0, dannFwird 200 sein, also zeichnen Sie einen Punkt bei (200, 0).

Um die zweite Gleichung darzustellen,Ja​ = ​F– 50, verwenden Sie den y-Achsenabschnitt von –50, um den ersten Punkt bei (0, –50) zu zeichnen. Da die Steigung 1 ist, beginnen Sie bei (0, −50) und gehen Sie dann eine Einheit nach oben und über eine Einheit. Das bringt Sie bei (1, −49). Wiederholen Sie den Vorgang ab (1, −49) und Sie erhalten einen dritten Punkt bei (2, −48). Um sicherzustellen, dass Sie die Dinge auch über lange Distanzen sauber machen, überprüfen Sie sich noch einmal, indem Sie auch diex-abfangen. WannJa​ = 0, ​F50, also auch einen Punkt bei (50, 0) zeichnen. Zeichnen Sie eine saubere Linie, die diese Punkte verbindet.

Schauen Sie sich Ihr Diagramm genau an, um zu sehen, wo sich die beiden Linien schneiden. Dies wird die Lösung sein, denn die Lösung eines Gleichungssystems ist der Punkt (oder die Punkte), der beide Gleichungen wahr macht. In einem Diagramm sieht dies wie der Punkt (oder die Punkte) aus, an dem sich die beiden Linien schneiden.

In diesem Fall schneiden sich die beiden Linien bei (125, 75). Die Lösung ist also, dass Ihr Freund (derx-coordinate) hat 125 Dollar verdient und duja-koordinate) machte $75.

Logik-Schnellcheck: Ist das sinnvoll? Zusammen ergeben die beiden Werte 200, und 125 ist 50 mehr als 75. Klingt gut.

In diesem Fall gab es genau einen Punkt, an dem sich die beiden Linien kreuzten. Wenn Sie mit Gleichungssystemen arbeiten, gibt es drei mögliche Ergebnisse, und jedes sieht in einem Diagramm anders aus.

• Wenn das System eine Lösung hat, kreuzen sich die Linien an einem einzigen Punkt, wie im Beispiel.
• Wenn das System keine Lösungen hat, werden sich die Linien nie kreuzen. Sie sind parallel, was algebraisch bedeutet, dass sie die gleiche Steigung haben.
• Das System kann auch unendliche Lösungen haben, was bedeutet, dass Ihre "zwei" Zeilen tatsächlich dieselbe Zeile sind. Sie haben also jeden einzelnen Punkt gemeinsam, das sind unendlich viele Lösungen.