Mathematiker erfanden imaginäre Zahlen, um sonst unlösbare algebraische Probleme zu lösen. Wenn Sie eine imaginäre Zahl quadrieren, erhalten Sie eine negative Zahl. Obwohl sie auf den ersten Blick etwas seltsam erscheinen mögen, haben imaginäre Zahlen viele wichtige praktische Anwendungen in Mathematik, Naturwissenschaften und Technik.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
Wenn Sie eine imaginäre Zahl quadrieren, ist das Ergebnis eine negative Zahl.
Reale Nummern
Im Alltag haben Sie es normalerweise mit echten Zahlen zu tun – der Außentemperatur, der Entfernung zum Haus eines Freundes oder der Anzahl der Pfennige in Ihrem Wechselgeldbehälter. Diese Zahlen repräsentieren reale Objekte und Phänomene. Neben den ganzen Zahlen, die wir zum Zählen verwenden, umfassen reelle Zahlen Null- und negative Zahlen. Einige Zahlen sind rational; Sie erhalten sie, indem Sie eine ganze Zahl durch eine andere dividieren. Andere Nummern, wie Pi, e, und die Quadratwurzel von 2 sind irrational. Für sie existiert kein ganzzahliges Verhältnis. Es kann hilfreich sein, sich reelle Zahlen als Markierungen auf einer unendlich langen Linie vorzustellen, wobei die Null in der Mitte steht.
Imaginäre Zahlen
Im späten 16. Jahrhundert entdeckten Mathematiker die Existenz imaginärer Zahlen. Imaginäre Zahlen werden benötigt, um Gleichungen wie x^2 + 1 = 0 zu lösen. Um imaginäre Zahlen von echten zu unterscheiden, verwenden Mathematiker den Buchstaben ich, normalerweise in Kursivschrift, wie z ich, 3i, 8.4i, wobei ich ist die Quadratwurzel von -1 und die Zahl davor dient als Multiplikator. Zum Beispiel ist 8,4i die Quadratwurzel von -8,4. Einige technische Disziplinen wie die Elektrotechnik bevorzugen den Buchstaben j Anstatt von ich. Sie unterscheiden sich nicht nur von reellen Zahlen, sondern auch imaginäre Zahlen haben ihre eigene Zahlen-„Linie“.
Der imaginäre Zahlenstrahl
In der Mathematik existiert eine Reihe imaginärer Zahlen, die der Reihe der reellen Zahlen sehr ähnlich ist. Die beiden Linien stehen im rechten Winkel zueinander, wie die x- und y-Achsen eines Graphen. Sie schneiden sich an den Nullpunkten jeder Geraden. Diese Zahlenlinien helfen Ihnen, sich vorzustellen, wie reale und imaginäre Zahlen funktionieren.
Komplexe Zahlen: Die ebene Wahrheit
Für sich genommen nehmen die reellen und imaginären Zahlengeraden, wie jede Gerade in der Geometrie, eine Dimension ein und sind unendlich lang. Zusammen bilden die beiden Zahlengeraden das, was Mathematiker die komplexe Zahlenebene nennen – zwei Dimensionen, die jede beliebige Zahl beschreiben, ob reell, imaginär oder komplex. 72,15 ist beispielsweise eine reelle Zahl und -15i eine imaginäre Zahl. Für diese beiden Zahlen finden Sie einen Punkt auf der komplexen Zahlenebene: 72,15, -15i. Beachten Sie, dass sich diese Zahl auf der Ebene befindet, nicht direkt auf den imaginären oder reellen Zahlenlinien. Es ist wie San Francisco, das einen Breiten- und Längengrad hat, aber weder auf dem Äquator noch auf dem Nullmeridian liegt.
Regeln für imaginäre Zahlen
Imaginäre und komplexe Zahlen funktionieren ähnlich wie reelle. Sie können sie in beliebiger Kombination addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Sie folgen den normalen mathematischen Regeln, mit dem Knick, dass imaginäre Zahlen, wenn sie quadriert werden, eine negative Antwort geben.
Imaginäre Zahlen, reale Verwendungen
Imaginäre Zahlen sind nützliche Werkzeuge, die helfen, schwierige mathematische Probleme zu lösen. In der Elektronik verwenden Gleichungen, die Wechselstromkreise beschreiben, imaginäre und komplexe Zahlenmathematik. Physiker verwenden komplexe Zahlen, wenn sie sich mit elektromagnetischen Wellen befassen, die Eigenschaften von Elektrizität und Magnetismus kombinieren. Auch die Quantenmechanik, die Lehre von subatomaren Teilchen, verwendet komplexe Zahlen. In der Geometrie erfordert das Studium von fraktalen Formen, die sich in verschiedene Richtungen schlängeln und verzweigen, komplexe Zahlenmathematik.