So lösen Sie lineare Ungleichungen

Angenommen, Sie müssen einkaufen gehen und haben ein begrenztes Budget. Sie möchten Nudeln und Brot für eine große Gruppe kaufen, können aber nicht mehr als zwanzig Dollar ausgeben. Theoretisch könnte man nur Brot und keine Nudeln kaufen oder viel Brot und nur eine Schachtel Nudeln. Wie viele verschiedene Kombinationen von Nudelkartons und Brotlaiben könnten Sie kaufen? Und wie können Sie das Beste aus jedem für Ihr Geld herausholen?

Probleme wie diese heißenLineare Ungleichungen: Gleichungen, deren Graph eine Linie ist, aber anstelle des Gleichheitszeichens verwenden sie Ungleichheitssymbole wie > oder <.>

TL; DR (zu lang; nicht gelesen)

Um eine lineare Ungleichung zu lösen, müssen Sie alle Kombinationen vonxundjadas macht die Ungleichung wahr. Sie können lineare Ungleichungen mit Algebra oder graphisch lösen.

​Zu​ ​eine lineare Ungleichung lösen(oder eine beliebige Gleichung), müssen Sie alle Kombinationen von findenxundjadas macht diese Gleichung wahr.

Sie können lineare Ungleichungen algebraisch lösen oder die Lösungen in einem Graphen darstellen (oder beides!). Lassen Sie uns gemeinsam einige Beispielprobleme durchgehen.

Dieser Vorgang istfastdas gleiche wie das Lösen einer linearen Gleichung, jedoch mit einer wichtigen Ausnahme. Sehen Sie sich das Problem unten an.

Holen Sie sich zuerst allex-es auf der gleichen Seite des "größer als"-Zeichens. Hinzufügenxauf beiden Seiten, um die aufzuhebenxauf der rechten Seite und haben nurxlinks.

Fügen Sie nun auf beiden Seiten sechs hinzu:

Bisher war dies genau wie jede lineare Gleichung. Aber jetzt soll sich etwas ändern!Wenn Sie beide Seiten einer Ungleichung durch eine negative Zahl teilen, müssen Sie die Richtung des Ungleichungssymbols ändern​.

Also für −3x> 18, wir werden beide Seiten durch −3 teilen und dann das >-Zeichen in ein

Wie wäre es mit Grafiken? Auch hier ist der Prozess den linearen Gleichungen sehr ähnlich, aber es gibt einen wichtigen Unterschied. Da musst du angebenalleder Kombinationen vonxundjadie eine Ungleichung wahr machen, werden Sie die Linie wie üblich grafisch darstellen und dann den Abschnitt des Diagramms schattieren, der Ihnen die restlichen möglichen Lösungen bietet.

Wie würden Sie beispielsweise die Ungleichung grafisch darstellen?ja​ < 3​x​ + 6?

Zuerst würden Sie bemerken, dass die Ungleichung in. istSteigungsschnittform, was bedeutet, dass wir dieja-Schnittpunkt und die Steigung, um die Linie schnell darzustellen.

Dasja-Achsenabschnitt ist 6, also zeichne einen Punkt bei (0, 6), dann benutze die Tatsache, dass die Steigung 3 ist, um drei Einheiten nach oben und eine Einheit nach rechts zu gehen, und zeichne dann einen Punkt. Ihr Punkt sollte bei (1, 9) liegen. Um eine Linie sauber und hübsch zu machen, ist es schön, drei Punkte zu bekommen. Zeichne also einen weiteren Punkt, indem du bei (1, 9) beginnst und drei Punkte nach oben gehst, wieder über einen. Sie erhalten einen Punkt bei (2, 12). Zeichnen Sie nun eine Linie, indem Sie die Punkte verbinden.

Groß! Du hast gerade die Gleichheit grafisch dargestelltja​ = 3​x+ 6, aber denken Sie daran, dass die ursprüngliche Gleichung istja​ < 3​x+ 6. Verwenden Sie diesen einfachen Trick, um den richtigen Teil des Diagramms zu schattieren:wenn die Ungleichung in Form eines Steigungsabschnitts vorliegt, wenn Sie. habenjaja>, dann alles über der Linie schattieren.​

Aber prüfe zur Sicherheit nochmal nach! Wenn Sie einen ganzen Abschnitt des Diagramms schattieren, bedeutet dies, dass jeder dieser Punkte die Gleichung wahr machen sollte. Schnappen Sie sich einen zufälligen Punkt, den Sie schattiert haben, und schließen Sie ihn anxundjain die ursprüngliche Ungleichung. Wenn es funktioniert, können Sie loslegen. Wenn dies nicht der Fall ist, müssen Sie Ihre Grafik und/oder Ihre Algebra noch einmal überprüfen.

Eine letzte Sache:wenn Sie > oder < haben, muss die Linie im Diagramm gepunktet sein! Wenn die Ungleichung ≥ oder. verwendet​ ≤, ​die Linie muss durchgezogen sein.Dies zeigt an, ob die Punkte auf der Linie selbst in der Lösung enthalten sind oder nicht.

Das Lösen eines Systems linearer Ungleichungen ist dem Lösen von Gleichungssystemen sehr ähnlich.Graphikist der einfachste Weg, lineare Ungleichungen zu lösen.

Um ein System linearer Ungleichungen darzustellen, zeichnen Sie Ihre erste Ungleichung wie oben und schattieren Sie die Bereiche über oder unter Ihrer Linie. Dann zeichne die zweite Ungleichung. Auch hier werden Sie in allen Abschnitten des Diagramms schattieren, die die Ungleichung wahr machen. Meistens gibt es einen Bereich in der Grafik, den Sie zweimal schattiert haben! Dies ist dasLösungzum System der Ungleichungen, denn es istder Abschnitt des Graphen, in dem beide Ungleichungen wahr sind​.