Um eine Umkehrfunktion in der Mathematik zu finden, müssen Sie zuerst eine Funktion haben. Es kann sich um fast jede Menge von Operationen für die unabhängige Variable handelnxdas ergibt einen Wert für die abhängige Variableja. Um im Allgemeinen die Umkehrung einer Funktion von zu bestimmenx, ersetzenjazumxundxzumjain der Funktion auflösen nachx.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
Um im Allgemeinen die Umkehrfunktion einer Funktion von zu findenx, ersetzenjazumxundxzumjain der Funktion auflösen nachx.
Inverse Funktion definiert
Die mathematische Definition einer Funktion ist eine Beziehung (x, ja) für die nur ein Wert vonjaexistiert für jeden Wert vonx. Wenn zum Beispiel der Wert vonx3 ist, ist die Beziehung eine Funktion, wennjahat nur einen Wert, z. B. 10. Die Umkehrung einer Funktion nimmt diejaWerte der Originalfunktion als eigenexWerte und produziertjaWerte, die die ursprüngliche Funktion sindxWerte. Wenn die ursprüngliche Funktion beispielsweise diejaWerte 1, 3 und 10, wenn esxVariable die Werte 0, 1 und 2 hätte, würde die Umkehrfunktion zurückgeben
jaWerte 0, 1 und 2, wenn esxVariable hatte die Werte 1, 3 und 10. Im Wesentlichen tauscht eine inverse Funktion diexundjaWerte des Originals. In der mathematischen Sprache, wenn die ursprüngliche Funktion f(x) und die Umkehrung ist g(x), danng (f(x)) = x
Algebra-Ansatz für die Umkehrfunktion
Um die Umkehrung einer Funktion mit den beiden Variablen zu finden,xundja, ersetze dasxBegriffe mitjaund derjaBegriffe mitx, und auflösen nachx. Nehmen wir als Beispiel die lineare Gleichungja = 7x − 15.
y = 7x - 15 \quad \text{(Originalfunktion)} \\ \,\\ x = 7y - 15 \quad \text{(Ersetze y durch x und x durch y)}\\ \,\\ x + 15 = 7y - 15 + 15 \quad \text{(Addiere 15 zu beiden Seiten.)} \\ \,\\ x + 15 = 7y \quad \text{(vereinfachen)} \\ \,\\ \frac{x + 15}{7} = \frac{7y}{7} \ quad\text{(Beide Seiten durch 7 teilen)} \\ \,\\ \frac{x + 15}{7} = y \quad\text{(vereinfachen)}
Die Funktion, (x + 15) / 7 = jaist die Umkehrung des Originals.
Inverse trigonometrische Funktionen
Um die Inverse einer trigonometrischen Funktion zu finden, ist es sinnvoll, alle trigonometrischen Funktionen und ihre Inversen zu kennen. Wenn Sie beispielsweise die Umkehrung von finden möchtenja= Sünde(x), müssen Sie wissen, dass die Umkehrung der Sinusfunktion die Arkussinusfunktion ist; Ohne arcsin(x). Die anderen trigonometrischen Funktionen Kosinus, Tangens, Kosekans, Sekanten und Kotangens haben die Umkehrfunktionen Arkuskosinus, Arkustangens, Arkuskosekans, Arkussekans bzw. Zum Beispiel die Umkehrung vonja= cos(x) istja= arccos(x).
Funktionsgraph und Inverse
Interessant ist der Graph einer Funktion und ihrer Umkehrung. Wenn Sie die beiden Kurven zeichnen, zeichnen Sie eine der Funktion entsprechende Linie,ja = x, werden Sie feststellen, dass die Linie als "Spiegel" angezeigt wird. Jede Kurve oder Linie darunterja = xwird symmetrisch darüber „reflektiert“. Dies gilt für jede Funktion, ob polynomiell, trigonometrisch, exponentiell oder linear. Mit diesem Prinzip können Sie die Umkehrung einer Funktion grafisch darstellen, indem Sie die ursprüngliche Funktion grafisch darstellen, indem Sie die Linie bei zeichnenja = x, dann zeichnen Sie die Kurven oder Linien, die benötigt werden, um ein „Spiegelbild“ zu erstellen, dasja = xals Symmetrieachse.