Das Konzept vonEigenwerteist obskur, aber sehr praktisch für Mathematiker und Physiker, die mit bestimmten interessanten Problemen konfrontiert sind.
Um einen Eigenwert zu verstehen, stellen Sie sich eine Funktion vor (z. B.ja = x2 + 6x, oderja= log 4x), dass Sie einen Prozess durchlaufen können, bei dem das Ergebnis der Multiplikation der gesamten Funktion mit einem konstanten Wert entspricht. Eine solche Funktion würde sich als. qualifizierenEigenfunktion, und die Konstante wäre ein Eigenwert.
- "Eigen" ist deutsch für "gleich".
Um Eigenwerte und Eigenfunktionen optimal zu verstehen und Eigenwerte selbst berechnen zu können, benötigen Sie ein Grundverständnis von Matrizen. Diese mathematischen Tricks werden verwendet, um beispielsweise die Bindungsordnung von NO. zu bestimmen2 (Stickstoffdioxid) und anderen Molekülen, da das Elektronenverhalten in Atomen durch Wellenfunktionen bestimmt wird, die sich als Eigenfunktionen qualifizieren.
Was ist eine Matrix?
Eine Matrix ist ein Array von Zahlen, die in Zeilen und Spalten angeordnet sind und von 1 bis. nummeriert werden können
nein. Die Dimensionen von Matrizen werden zeilenweise angegeben; Das Folgende ist beispielsweise eine 2-mal-3-Matrix:\begin{bmatrix} 3 & 0 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \\ \end{bmatrix}
Matrizen können zusammengezählt werden, wenn sie dieselbe Größe haben (d. h. dieselbe Anzahl von Zeilen und dieselbe Anzahl von Spalten haben). Sie können auch durch ein schrittweises Verfahren unter den gleichen Bedingungen miteinander multipliziert werden. Darüber hinaus kann jede Matrix mit einem Vektor multipliziert werden, der ein 1-mal-neinodernein-mal-1-Matrix; dies schließt andere Vektoren ein.
Was ist eine Eigenwertgleichung?
Sag, du hast einnein-durch-neinoder "quadratische" MatrixEIN, ein Nicht-Nullnein-by-1-Vektorv, und ein Skalarλ, so dass die folgende Gleichung erfüllt ist:
\bold{Av} = λ\bold{v}
Jeder Wert vonλfür die diese Gleichung eine Lösung hat, ist als Eigenwert der Matrix bekanntEIN.
Lassen Sie Ihren Verstand die obigen Ausdrücke nicht als Produkt behandeln.EINist einOperatorauf oder eine lineare Transformation des Vektorsv, diese Berechnung ist nur möglich, weilEINundvbeide habenneinReihen.
Warum Eigenwertfunktionen verwenden?
Die Herleitung ist kompliziert, aber in der Atomchemie wird der Hamilton-Operator "H-bar" verwendet, um die kinetische und potentielle Energie eines Systems auszudrücken:
\hat H=−\dfrac{ℏ}{2m}∇^2+\hat V(x, y, z)
Dies wird verwendet, um eine Form des zu schreibenSchrödinger-Wellenfunktionsgleichungin der Quantenmechanik:
\hat Hψ(x, y, z)=Eψ(x, y, z)
HierErepräsentiert die Eigenwerte, die diese Gleichung erfüllen.
Wege zum Ermitteln der Eigenwerte einer Matrix
Aus der Gleichung Av = λv erhält manEIN v − λv=0. Dies führt zu:
\bold{Av} − λ(\bold{Iv})=0
Woichist die 2-mal-2-Identitätsmatrix mit Zeilen von [λ0] und [0λ], was zu 1 führt, wenn es mit dem Skalar multipliziert wirdλ. Dieses Ergebnis ergibt:
(\bold{A} - λ\bold{I})\bold{v} = 0
Was wäre wennvungleich Null ist, hat nur eine Lösung, wenn der Absolutwert vonEIN− λich, oder |EIN − λich|, ist null. Wenn Sie dies von Hand tun, müssen Sie eine quadratische Gleichung lösen und können mühsam sein.
Um zwei Matrizen miteinander zu multiplizieren, multiplizieren Sie für jeden Punkt in der Produktmatrix die entsprechenden Punkte miteinander und addiere dies zu den Produkten der verbleibenden Zeilen- und Spaltenelemente in der Zeile und Spalte, auf die der neue Punkt gehört.
Beim Multiplizieren zweier 2-mal-2-MatrizenEINundBzusammen, wenn die erste Reihe vonEINist [1 3] und die erste Spalte vonB[2 5] ist, wäre die Zahl in der ersten Spalte und Zeile der neuen Matrix [(1 × 2) + (3 × 5)] = 15, und entsprechend für die anderen drei Punkte.
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