Sie können inverse Beziehungen in der Mathematik auf drei Arten betrachten. Die erste Möglichkeit besteht darin, Operationen zu betrachten, die sich gegenseitig aufheben. Addition und Subtraktion sind die beiden offensichtlichsten Operationen, die sich auf diese Weise verhalten.
Eine zweite Möglichkeit, inverse Beziehungen zu betrachten, besteht darin, die Art der Kurven zu betrachten, die sie erzeugen, wenn Sie Beziehungen zwischen zwei Variablen darstellen. Wenn die Beziehung zwischen den Variablen direkt ist, nimmt die abhängige Variable zu, wenn Sie die unabhängige Variable erhöhen, und die Kurve neigt zu steigenden Werten beider Variablen. Wenn die Beziehung jedoch umgekehrt ist, wird die abhängige Variable kleiner, wenn die unabhängige Variable zunimmt, und der Graph krümmt sich zu kleineren Werten der abhängigen Variablen.
Bestimmte Funktionspaare liefern ein drittes Beispiel für inverse Beziehungen. Wenn Sie Funktionen, die zueinander invers sind, auf einer x-y-Achse grafisch darstellen, erscheinen die Kurven als Spiegelbilder zueinander in Bezug auf die Linie x = y.
Inverse mathematische Operationen
Die Addition ist die grundlegendste arithmetische Operation, und sie kommt mit einem bösen Zwilling – der Subtraktion –, der das, was sie tut, rückgängig machen kann. Nehmen wir an, Sie beginnen mit 5 und fügen 7 hinzu. Sie erhalten 12, aber wenn Sie 7 abziehen, bleiben Sie bei der 5, mit der Sie begonnen haben. Die Umkehrung der Addition ist die Subtraktion, und das Nettoergebnis der Addition und Subtraktion derselben Zahl entspricht der Addition von 0.
Eine ähnliche umgekehrte Beziehung besteht zwischen Multiplikation und Division. Das Nettoergebnis der Multiplikation und Division einer Zahl mit demselben Faktor besteht darin, die Zahl mit 1 zu multiplizieren, wodurch sie unverändert bleibt. Diese umgekehrte Beziehung ist nützlich, wenn Sie komplexe algebraische Ausdrücke vereinfachen und Gleichungen lösen.
Ein weiteres Paar inverser mathematischer Operationen ist das Erhöhen einer Zahl zu einem Exponenten.nein" und nimm dieneinte Wurzel der Zahl. Die quadratische Beziehung ist am einfachsten zu betrachten. Wenn Sie 2 quadrieren, erhalten Sie 4, und wenn Sie die Quadratwurzel von 4 ziehen, erhalten Sie 2. Diese umgekehrte Beziehung ist auch nützlich, wenn Sie komplexe Gleichungen lösen.
Funktionen können invers oder direkt sein
Eine Funktion ist eine Regel, die für jede eingegebene Zahl nur ein Ergebnis liefert. Die von Ihnen eingegebene Menge von Zahlen wird als Bereich der Funktion bezeichnet, und die Menge der Ergebnisse, die die Funktion erzeugt, ist der Bereich. Wenn die Funktion direkt ist, erzeugt eine Bereichsfolge positiver Zahlen, die größer werden, eine Bereichsfolge von Zahlen, die ebenfalls größer werden.
f (x) = 2x + 2, f (x) = x^2 \text{ und } f (x) = \sqrt{x}
sind alles direkte Funktionen.
Eine Umkehrfunktion verhält sich anders. Wenn die Zahlen in der Domäne größer werden, werden die Zahlen im Bereich kleiner.
f(x) = \frac{1}{x}
ist die einfachste Form einer Umkehrfunktion. Wenn x größer wird, f(x) rückt immer näher an 0 heran. Grundsätzlich ist jede Funktion mit der Eingangsvariablen im Nenner eines Bruchs und nur im Nenner eine Umkehrfunktion. Andere Beispiele sind
f(x) = \frac{n}{x}
woneinist eine beliebige Zahl,
f(x) = \frac{n}{\sqrt{x}}
und
f(x) = \frac{n}{x +w}
wowist eine beliebige ganze Zahl.
Zwei Funktionen können eine umgekehrte Beziehung zueinander haben
Ein drittes Beispiel für eine inverse Beziehung in der Mathematik ist ein Paar von Funktionen, die zueinander invers sind. Nehmen wir als Beispiel an, Sie geben die Zahlen 2, 3, 4 und 5 in die Funktion ein
y = 2x + 1
Sie erhalten diese Punkte: (2,5), (3,7), (4,9) und (5,11). Dies ist eine Gerade mit Steigung 2 undja-abfangen 1.
Vertauschen Sie nun die Zahlen in den Klammern, um eine neue Funktion zu erstellen: (5,2), (7,3), (9,4) und (11,5). Der Bereich der ursprünglichen Funktion wird der Bereich der neuen und der Bereich der ursprünglichen Funktion wird der Bereich der neuen. Es ist auch eine Linie, aber ihre Steigung ist 1/2 und ihreja-Schnittpunkt ist -1/2. Verwendung der
y = mx + b
Form einer Geraden, finden Sie die Gleichung der Geraden zu
y = \frac{1}{2}(x - 1)
Dies ist die Umkehrung der ursprünglichen Funktion. Sie könnten es genauso einfach durch Umschalten ableitenxundjain der ursprünglichen Funktion und vereinfacht zu bekommenjaallein links vom Gleichheitszeichen.