EIN Polynom ist ein algebraischer Ausdruck mit mehr als einem Begriff. Binomiale haben zwei Terme, Trinome haben drei Terme und ein Polynom ist jeder Ausdruck mit mehr als drei Termen. Faktorisieren ist die Aufteilung der Polynomterme in ihre einfachsten Formen. Ein Polynom wird in seine Primfaktoren zerlegt und diese Faktoren werden als Produkt zweier Binome geschrieben, z. B. (x + 1)(x – 1). Ein größter gemeinsamer Faktor (GCF) identifiziert einen Faktor, den alle Terme innerhalb des Polynoms gemeinsam haben. Es kann aus dem Polynom entfernt werden, um den Faktorisierungsprozess zu vereinfachen.
Untersuche das Binomial x^2 – 49. Beide Terme sind quadriert und weil dieses Binomial die Subtraktionseigenschaft verwendet, wird es als Differenz von Quadraten bezeichnet. Beachten Sie, dass es keine Lösung für positive Binomialzahlen gibt, z. B. x^2 + 49.
Schreiben Sie die Faktoren in Klammern als Produkt zweier Binome (x + 7)(x – 7). Da der letzte Term, -49, negativ ist, haben Sie eines von jedem Vorzeichen – weil ein positives multipliziert mit einem negativen gleich einem negativen ist.
Überprüfen Sie Ihre Arbeit, indem Sie die Binome verteilen, (x)(x) = x^2 + (x)(-7) = -7x + (7)(x) = 7x + (7)(-7) = -49. Kombiniere ähnliche Begriffe und vereinfache, x^2 + 7x – 7x – 49 = x^2 – 49.
Untersuchen Sie das Trinom x^2 – 6xy + 9y^2. Sowohl der erste als auch der letzte Term sind Quadrate. Da der letzte Term positiv und der mittlere Term negativ ist, gibt es zwei negative Vorzeichen in den Klammerbinomen. Dies wird als perfektes Quadrat bezeichnet. Dieser Term gilt für Trinome, die auch zwei positive Terme haben, x^2 + 6xy + 9y^2.
Untersuche das Trinom x^3 + 2x^2 – 15x. In diesem Trinom gibt es einen größten gemeinsamen Faktor, x. Ziehe x aus dem Trinom, dividiere die Terme durch die GCF und schreibe die Reste in Klammern, x (x^2 + 2x – 15).
Schreiben Sie den GCF voran und die Quadratwurzel von x^2 in Klammern und stellen Sie die Formel für das Produkt zweier Binome auf, x (x + )(x - ). In dieser Formel gibt es von jedem Vorzeichen eines, da der mittlere Term positiv und der letzte Term negativ ist.
Schreiben Sie die Faktoren von 15 auf. Da 15 mehrere Faktoren hat, wird diese Methode als Versuch und Irrtum bezeichnet. Wenn Sie die Faktoren von 15 durchgehen, suchen Sie nach zweien, die zusammen den mittleren Begriff ergeben. Drei und fünf ergeben beim Subtrahieren zwei. Da der mittlere Term 2x positiv ist, folgt der größere Faktor dem positiven Vorzeichen in der Formel.
Untersuchen Sie das Polynom 25x^3 – 25x^2 – 4xy + 4y. Um ein Polynom mit vier Termen zu faktorisieren, verwenden Sie eine Methode namens Gruppierung.
Trennen Sie das Polynom in der Mitte (25x^3 – 25x^2) – (4xy + 4y). Bei einigen Polynomen müssen Sie die Terme möglicherweise vor der Gruppierung neu anordnen, damit Sie eine GCF aus der Gruppe herausziehen können.
Ziehe den GCF aus der ersten Gruppe, dividiere die Terme durch den GCF und schreibe die Reste in Klammern, 25x^2(x – 1).
Ziehe den GCF aus der zweiten Gruppe, dividiere die Terme und schreibe die Reste in Klammern, 4y (x – 1). Beachten Sie, dass die Reste in Klammern übereinstimmen; Dies ist der Schlüssel zur Gruppierungsmethode.
Schreiben Sie das Polynom mit den neuen Klammergruppen 25x^2(x – 1) – 4y (x – 1) um. Die Klammern sind jetzt allgemeine Binomiale und können aus dem Polynom gezogen werden.