Eine Taylor-Reihe ist ein numerisches Verfahren zur Darstellung einer gegebenen Funktion. Dieses Verfahren findet in vielen technischen Bereichen Anwendung. In einigen Fällen, z. B. bei der Wärmeübertragung, führt die Differentialanalyse zu einer Gleichung, die der Form einer Taylor-Reihe entspricht. Eine Taylor-Reihe kann auch ein Integral darstellen, wenn das Integral dieser Funktion analytisch nicht existiert. Diese Darstellungen sind keine exakten Werte, aber die Berechnung von mehr Termen in der Reihe macht die Näherung genauer.
Wählen Sie ein Zentrum für die Taylor-Reihe. Diese Zahl ist willkürlich, aber es ist eine gute Idee, einen Mittelpunkt zu wählen, bei dem die Funktion symmetrisch ist oder bei dem der Wert für den Mittelpunkt die Mathematik des Problems vereinfacht. Wenn Sie die Taylor-Reihendarstellung von f (x) = sin (x) berechnen, ist a = 0 ein geeignetes Zentrum.
Bestimmen Sie die Anzahl der Terme, die Sie berechnen möchten. Je mehr Terme Sie verwenden, desto genauer wird Ihre Darstellung sein, aber da eine Taylor-Reihe eine unendliche Reihe ist, ist es unmöglich, alle möglichen Terme einzuschließen. Das sin (x)-Beispiel verwendet sechs Terme.
Berechnen Sie die Ableitungen, die Sie für die Reihe benötigen. Für dieses Beispiel müssen Sie alle Ableitungen bis zur sechsten Ableitung berechnen. Da die Taylor-Reihe bei "n = 0" beginnt, müssen Sie die "0." Ableitung einbeziehen, die nur die ursprüngliche Funktion ist. 0. Ableitung = sin (x) 1. = cos (x) 2. = -sin (x) 3. = -cos (x) 4. = sin (x) 5. = cos (x) 6. = -sin (x)
Berechnen Sie den Wert für jede Ableitung in der von Ihnen gewählten Mitte. Diese Werte sind die Zähler für die ersten sechs Terme der Taylor-Reihe. sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0 -cos (0) = -1 sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0
Verwenden Sie die Ableitungsberechnungen und zentrieren Sie, um die Terme der Taylor-Reihe zu bestimmen. 1. Amtszeit; n = 0; (0/0!)(x - 0)^0 = 0/1 2. Term; n = 1; (1/1!)(x - 0)^1 = x/1! 3. Amtszeit; n = 2; (0/2!)(x - 0)^2 = 0/2! 4. Amtszeit; n = 3; (-1/3!)(x - 0)^3 = -x^3/3! 5. Amtszeit; n = 4; (0/4!)(x - 0)^4 = 0/4! 6. Amtszeit; n = 5; (1/5!)(x - 0)^5 = x^5/5! Taylorreihe für sin (x): sin (x) = 0 + x/1! + 0 - (x^3)/3! + 0 +(x^5)/5! + ...
Lassen Sie die Nullterme in der Reihe weg und vereinfachen Sie den Ausdruck algebraisch, um die vereinfachte Darstellung der Funktion zu bestimmen. Dies wird eine völlig andere Reihe sein, daher gelten die zuvor verwendeten Werte für "n" nicht mehr. sin(x) = 0 + x/1! + 0 - (x^3)/3! + 0 +(x^5)/5! +... Sünde (x) = x/1! - (x^3)/3! +(x^5)/5! -... Da die Vorzeichen zwischen positiv und negativ wechseln, muss die erste Komponente der vereinfachten Gleichung (-1)^n sein, da es in der Reihe keine geraden Zahlen gibt. Der Ausdruck (-1)^n ergibt ein negatives Vorzeichen, wenn n ungerade ist und ein positives Vorzeichen, wenn n gerade ist. Die Reihendarstellung ungerader Zahlen ist (2n + 1). Wenn n = 0 ist, ist dieser Term gleich 1; bei n = 1 ist dieser Term gleich 3 und so weiter bis ins Unendliche. Verwenden Sie in diesem Beispiel diese Darstellung für die Exponenten von x und die Fakultäten im Nenner
Verwenden Sie die Darstellung der Funktion anstelle der ursprünglichen Funktion. Bei fortgeschritteneren und schwierigeren Gleichungen kann eine Taylor-Reihe eine unlösbare Gleichung lösbar machen oder zumindest eine vernünftige numerische Lösung liefern.