Funktionen sind Beziehungen, die eine Ausgabe für jede Eingabe oder einen y-Wert für jeden in die Gleichung eingefügten x-Wert ableiten. Zum Beispiel die Gleichungen:
sind Funktionen, weil jederx-Wert erzeugt ein anderesja-Wert. Grafisch gesehen ist eine Funktion eine Beziehung, bei der die ersten Zahlen des geordneten Paares einen und nur einen Wert als zweite Zahl haben, der andere Teil des geordneten Paares.
Ein geordnetes Paar ist ein Punkt auf einemx-jaKoordinatendiagramm mit einem x- und y-Wert. Zum Beispiel ist (2, −2) ein geordnetes Paar mit 2 alsx-Wert und −2 alsja-Wert. Wenn Sie einen Satz geordneter Paare erhalten, stellen Sie sicher, dass keinex-Wert hat mehr als einsja-Wert gepaart damit. Wenn die Menge der geordneten Paare [(2, −2), (4, −5), (6, −8), (2, 0)] gegeben ist, wissen Sie, dass dies keine Funktion ist, weil anx-Wert – in diesem Fall – 2, hat mehr als einsja-Wert. Diese Menge geordneter Paare [( −2, 4), ( −1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)] ist jedoch eine Funktion, da aja-Wert darf mehr als einen entsprechenden Wert habenx-Wert.
Es ist relativ einfach zu bestimmen, ob eine Gleichung eine Funktion ist, indem man nach auflöstja. Wenn Sie eine Gleichung und einen bestimmten Wert für erhaltenx, es sollte nur eine entsprechende gebenja-Wert dafürx-Wert. Beispielsweise
ist eine Funktion; obwohlx-Werte von 1 und −1 ergeben den gleichen y-Wert (0), das ist der einzig möglicheja-Wert für jeden von denenx-Werte. Jedoch:
Die Bestimmung, ob eine Relation eine Funktion in einem Graphen ist, ist mit Hilfe des vertikalen Linientests relativ einfach. Wenn eine senkrechte Linie die Relation im Graphen nur einmal an allen Stellen schneidet, ist die Relation eine Funktion. Wenn jedoch eine vertikale Linie die Relation mehr als einmal kreuzt, ist die Relation keine Funktion. Beim vertikalen Linientest sind alle Linien außer den vertikalen Linien Funktionen. Kreise, Quadrate und andere geschlossene Formen sind keine Funktionen, aber parabolische und exponentielle Kurven sind Funktionen.
Ein Eingabe-Ausgabe-Diagramm zeigt die Ausgabe oder das Ergebnis für jede Eingabe oder jeden Originalwert an. Ein Input-Output-Diagramm, bei dem ein Input zwei oder mehr verschiedene Outputs hat, ist keine Funktion. Wenn Sie beispielsweise die Zahl 6 in zwei verschiedenen Eingaberäumen sehen und die Ausgabe in einem Fall 3 und in einem anderen Fall 9 ist, ist die Beziehung keine Funktion. Wenn jedoch zwei verschiedene Eingaben die gleiche Ausgabe haben, ist es immer noch möglich, dass die Beziehung eine Funktion ist, insbesondere wenn es sich um quadrierte Zahlen handelt.