Mit einem Vektor können Sie Größen in Form eines Betrags (als Betrag bezeichnet) und einer Richtung beschreiben, was sie zu einem praktischen mathematischen Werkzeug macht. Die Behandlung von Größen als Vektoren eröffnet viele leistungsfähige Möglichkeiten zur Berechnung und Analyse von Kräften, Bewegungen und anderen Phänomenen, bei denen die Richtung eine Rolle spielt. Vektoren sind nicht nur in der Mathematik selbst, sondern auch in harten Wissenschaften wie der Physik und Disziplinen wie den Ingenieurwissenschaften unverzichtbar. Obwohl die Mathematik komplex sein kann, sind die grundlegenden Ideen hinter Vektoren nicht schwer zu verstehen.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
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Ein Vektor ist eine Quantifizierung, die sowohl einen Betrag als auch eine Richtung hat. Kraft und Geschwindigkeit sind zwei Beispiele für Vektorgrößen.
Skalare und Vektoren
Mathematiker nennen einfache Mengen Skalare; Dazu gehören Eigenschaften wie Temperatur, Gewicht und Größe, wobei eine einzige Zahl Ihnen alles sagt, was Sie brauchen. Ein Vektor hat auch einen Betrag, fügt aber eine Richtung hinzu; zum Beispiel fliegt ein Flugzeug mit einer Geschwindigkeit von 645 Kilometern pro Stunde (400 Meilen pro Stunde) nach Norden. Der Betrag ist die Geschwindigkeit, 645 km/h, und die Richtung ist Norden. Beide Informationen bilden den Geschwindigkeitsvektor der Ebene. Um eine Tür zu öffnen, drücken Sie mit einer Kraft von 50 Newton (11 Pfund) dagegen. Fünfzig Newton ist die Größe; die Richtung ist „von der Vorderseite Ihres Körpers weg“. Dies bildet den Vektor für die Schubkraft auf die Tür.
Zeichnen von Vektoren
Es hilft, Vektoren zu visualisieren, indem man sie als Pfeile zeichnet. Der Pfeil zeigt in die Richtung des Vektors und hat eine Länge, die der Größe des Vektors entspricht. Sie können in der Zeichnung mehrere Vektoren mit jeweils eigener Richtung und Länge kombinieren. Außerdem können Sie zwischen kartesischen (x und ja) oder Polarkoordinaten (Betrag und Winkel). Wenn Ihre zeichnerischen Fähigkeiten es ausreichen, können Sie Vektoren auch dreidimensional mit Perspektive und Tiefe skizzieren.
Mathematik mit Vektoren
Genauso wie Sie mit skalaren Größen rechnen können, können Sie Vektoren addieren und subtrahieren sowie andere Operationen mit ihnen durchführen. Ein Ansatz zum Addieren von Vektoren besteht darin, einfach ihre. zu addieren x und ja Koordinaten. Wenn Sie beispielsweise zwei Vektorpfeile haben, von denen einer mit dem Schwanz am Ursprung (0, 0) und den Kopf an (5, 5) hat, und der andere, der ebenfalls seinen Schwanz am Ursprung hat und seinen Kopf hat bei (3, 0). Hinzufügen der x Koordinaten ergibt 8 und addiert die ja Orte ergibt 5, also ist der resultierende Vektor (8, 5).
Andere Operationen mit Vektoren umfassen das Punktprodukt und das Kreuzprodukt; Dies sind Funktionen in der linearen Algebra, die zwei Vektoren nehmen und ein Ergebnis erzeugen. Das Skalarprodukt ergibt einen Skalar, der die Längen der beiden Originalvektoren kombiniert. Es gilt für Probleme wie das Auffinden der Energie, die benötigt wird, um ein schweres Objekt eine Rampe hinaufzuschieben. Das Kreuzprodukt ergibt einen dritten Vektor, der 90 Grad von einem der ersten beiden zeigt; es hat Anwendungen in den Kräften der Elektrizität und des Magnetismus.
Physik, Ingenieurwissenschaften und andere Bereiche
Es sollte nicht überraschen, dass Sie in der Physik und im Ingenieurwesen häufig auf Vektoren stoßen. Vektoren sind praktisch, um Probleme mit Größen wie Kraft, Geschwindigkeit und Beschleunigung zu lösen. Windvektoren helfen Wetterforschern, den Verlauf von Stürmen zu verfolgen. Diese Disziplinen verwenden auch „Vektorfelder“, oder große Gruppen von Vektoren, die verteilt sind, um Phänomene wie die Feldlinien um einen Magneten oder die komplexen Wasserströmungen in einem Ozean darzustellen.