Wenn Sie mit drei Gleichungen und drei Unbekannten (Variablen) beginnen, denken Sie vielleicht, dass Sie genug Informationen haben, um alle Variablen aufzulösen. Wenn Sie jedoch ein lineares Gleichungssystem mit der Eliminationsmethode lösen, stellen Sie möglicherweise fest, dass das System nicht ausreichend bestimmt ist, um eine eindeutige Antwort zu finden, sondern unendlich viele Lösungen sind möglich. Dies tritt auf, wenn die Informationen in einer der Gleichungen im System redundant zu Informationen in den anderen Gleichungen sind.
Ein 2x2-Beispiel
3x+2y=5 6x+4y=10 Dieses Gleichungssystem ist eindeutig überflüssig. Sie können eine Gleichung aus der anderen erstellen, indem Sie einfach mit einer Konstanten multiplizieren. Mit anderen Worten, sie vermitteln die gleichen Informationen. Obwohl es zwei Gleichungen für die beiden Unbekannten x und y gibt, kann die Lösung dieses Systems nicht auf einen Wert für x und einen Wert für y eingegrenzt werden. (x, y)=(1,1) und (5/3,0) lösen es beide, ebenso wie viele weitere Lösungen. Dies ist die Art von „Problem“, diese Unzulänglichkeit an Informationen, die auch in größeren Gleichungssystemen zu unendlich vielen Lösungen führt.
Ein 3x3-Beispiel
x+y+z=10 x-y+z=0 x_+_z=5 [Unterstriche werden lediglich verwendet, um den Abstand aufrechtzuerhalten.] Eliminieren Sie bei der Eliminationsmethode x aus der zweiten Zeile, indem Sie die zweite Zeile von der ersten subtrahieren, was ergibt x+y+z=10 _2y=10 x_+z=5 Eliminieren Sie x aus der dritten Zeile, indem Sie die dritte Zeile von der ersten subtrahieren. x+y+z=10 _2y=10 ja=5 Offensichtlich sind die letzten beiden Gleichungen äquivalent. y ist gleich 5, und die erste Gleichung kann durch Eliminieren von y vereinfacht werden. x+5+z=10 y__=5 oder x+z=5 y=5 Beachten Sie, dass die Eliminationsmethode hier keine schöne Dreiecksform erzeugt, wie dies bei einer eindeutigen Lösung der Fall ist. Stattdessen wird die letzte Gleichung (wenn nicht mehr) selbst in die anderen Gleichungen aufgenommen. Das System besteht jetzt aus drei Unbekannten und nur zwei Gleichungen. Das System wird als „unterbestimmt“ bezeichnet, weil es nicht genügend Gleichungen gibt, um den Wert aller Variablen zu bestimmen. Es sind unendlich viele Lösungen möglich.
So schreiben Sie die unendliche Lösung
Die unendliche Lösung für das obige System kann in Form einer Variablen geschrieben werden. Eine Schreibweise ist (x, y, z)=(x, 5,5-x). Da x unendlich viele Werte annehmen kann, kann die Lösung unendlich viele Werte annehmen.