Wie wird die Faktorisierung von Polynomen im Alltag verwendet?

Das Faktorisieren eines Polynoms bezieht sich auf das Finden von Polynomen niedrigerer Ordnung (höchster Exponent ist niedriger), die miteinander multipliziert das zu faktorisierende Polynom ergeben. Zum Beispiel kann x^2 - 1 in x - 1 und x + 1 faktorisiert werden. Wenn diese Faktoren multipliziert werden, heben sich -1x und +1x auf, so dass x^2 und 1 übrig bleiben.

Factoring ist leider kein mächtiges Werkzeug, was den Einsatz im Alltag und im technischen Bereich einschränkt. Polynome werden in der Grundschule stark manipuliert, damit sie faktorisiert werden können. Im Alltag sind Polynome nicht so freundlich und erfordern ausgefeiltere Analysewerkzeuge. Ein so einfaches Polynom wie x^2 + 1 kann nicht ohne die Verwendung komplexer Zahlen faktorisiert werden, dh Zahlen, die i = √(-1) enthalten. Polynome der Ordnung so niedrig wie 3 können unerschwinglich schwer zu faktorisieren sein. Zum Beispiel x^3 - y^3 faktorisiert zu (x - y)(x^2 + xy + y^2), aber es wird nicht weiter faktorisiert, ohne auf komplexe Zahlen zurückzugreifen.

Polynome zweiter Ordnung – z. B. x^2 + 5x + 4 – werden regelmäßig in Algebraklassen um die achte oder neunte Klasse faktorisiert. Der Zweck des Factorings solche Funktionen sollen dann Polynomgleichungen lösen können. Die Lösung von x^2 + 5x + 4 = 0 sind beispielsweise die Wurzeln von x^2 + 5x + 4, nämlich -1 und -4. In der Lage zu sein, die Wurzeln solcher Polynome zu finden, ist die Grundvoraussetzung für die Lösung von Problemen im naturwissenschaftlichen Unterricht in den folgenden 2 bis 3 Jahren. Formeln zweiter Ordnung tauchen in solchen Klassen regelmäßig auf, z. B. bei Projektilproblemen und Säure-Basen-Gleichgewichtsberechnungen.

Wenn Sie bessere Werkzeuge zum Ersetzen von Factoring entwickeln, müssen Sie sich daran erinnern, was der Zweck des Factorings in erster Linie ist: Gleichungen zu lösen. Die quadratische Formel ist eine Möglichkeit, die Schwierigkeit der Faktorisierung einiger Polynome zu umgehen, während sie gleichzeitig dem Zweck dient, eine Gleichung zu lösen. Für Gleichungen von Polynomen zweiter Ordnung (d. h. der Form ax^2 + bx + c) wird die quadratische Formel verwendet, um die Wurzeln des Polynoms und damit die Lösung der Gleichung zu finden. Die quadratische Formel lautet x = [-b +/- √(b^2 - 4ac)] / [2a], wobei +/- "plus oder minus" bedeutet. Beachten Sie, dass Sie nicht schreiben müssen (x - root1)(x - root2) = 0. Anstatt die Gleichung durch Faktorisieren zu lösen, kann die Lösung der Formel direkt ohne Faktorisieren als Zwischenschritt gelöst werden, obwohl das Verfahren auf Faktorisierung basiert.

Das heißt nicht, dass Factoring überflüssig ist. Wenn die Schüler die quadratische Gleichung zum Lösen von Polynomgleichungen lernen würden, ohne das Faktorisieren zu lernen, würde das Verständnis der quadratischen Gleichung verringert.

Dies soll nicht heißen, dass die Faktorisierung von Polynomen niemals außerhalb des Algebra-, Physik- und Chemieunterrichts durchgeführt wird. Handheld-Finanzrechner führen eine alltägliche Zinsberechnung mit einer Formel durch, die die Faktorisierung zukünftiger Zahlungen mit der Zinskomponente darstellt (siehe Diagramm). In Differentialgleichungen (Gleichungen der Änderungsraten) wird eine Faktorisierung von Polynomen von Ableitungen (Änderungsraten) durchgeführt, um sogenannte "homogene Gleichungen beliebiger Ordnung." Ein anderes Beispiel ist in der Einführungsrechnung, in der Methode der partiellen Brüche zur Integration (Auflösung nach der Fläche unter einer Kurve). Einfacher.

Diese Beispiele sind natürlich alles andere als alltäglich. Und wenn es beim Factoring schwierig wird, haben wir Taschenrechner und Computer für die schwere Arbeit. Anstatt eine Eins-zu-Eins-Übereinstimmung zwischen jedem gelehrten mathematischen Thema und alltäglichen Berechnungen zu erwarten, sollten Sie sich die Vorbereitung des Themas für ein praktischeres Studium ansehen. Factoring sollte als das geschätzt werden, was es ist: ein Sprungbrett zum Erlernen von Methoden zum Lösen immer realistischerer Gleichungen.