Eine der wichtigsten Operationen, die Sie in der Infinitesimalrechnung ausführen, ist das Auffinden von Ableitungen. Die Ableitung einer Funktion wird auch als Änderungsrate dieser Funktion bezeichnet. Wenn beispielsweise x (t) die Position eines Autos zu einem beliebigen Zeitpunkt t ist, dann ist die Ableitung von x, die als dx/dt geschrieben wird, die Geschwindigkeit des Autos. Die Ableitung kann auch als Steigung einer Tangente an den Funktionsgraphen visualisiert werden. Auf theoretischer Ebene finden Mathematiker auf diese Weise Ableitungen. In der Praxis verwenden Mathematiker Sätze von Grundregeln und Nachschlagetabellen.
Die Ableitung als Steigung
Die Steigung einer Linie zwischen zwei Punkten ist der Anstieg oder die Differenz der y-Werte geteilt durch den Verlauf oder die Differenz der x-Werte. Die Steigung einer Funktion y (x) für einen bestimmten Wert von x ist definiert als die Steigung einer Linie, die die Funktion am Punkt [x, y (x)] tangiert. Um die Steigung zu berechnen, konstruieren Sie eine Linie zwischen dem Punkt [x, y (x)] und einem nahegelegenen Punkt [x+h, y (x+h)], wobei h eine sehr kleine Zahl ist. Für diese Linie ist der Verlauf oder die Änderung des x-Werts h und der Anstieg oder die Änderung des y-Werts ist y (x+h) – y (x). Folglich ist die Steigung von y (x) am Punkt [x, y (x)] ungefähr gleich [y (x+h) - y (x)]/[(x + h) - x] = [y ( x + h) – y (x)]/h. Um die Steigung genau zu erhalten, berechnen Sie den Wert der Steigung, wenn h immer kleiner wird, bis zum „Limit“, wo es auf Null geht. Die so berechnete Steigung ist die Ableitung von y (x), die als y’(x) oder dy/dx geschrieben wird.
Die Ableitung einer Potenzfunktion
Sie können die Steigungs-/Grenzwertmethode verwenden, um die Ableitungen von Funktionen zu berechnen, bei denen y gleich x hoch a oder y (x) = x^a ist. Wenn zum Beispiel y gleich x kubisch ist, y (x) = x^3, dann ist dy/dx die Grenze, da h von [(x + h)^3 - x^3]/h gegen Null geht. Das Erweitern von (x+h)^3 ergibt [x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3]/h, was sich nach der Division auf 3x^2 + 3xh^2 + h^2 reduziert von h. Im Grenzfall, in dem h gegen Null geht, gehen alle Terme, die h enthalten, ebenfalls gegen Null. Also, y’(x) = dy/dx = 3x^2. Sie können dies für andere Werte als 3 tun, und im Allgemeinen können Sie zeigen, dass d/dx (x^a) = (a - 1)x^(a-1) ist.
Ableitung aus einer Potenzreihe
Viele Funktionen können als sogenannte Potenzreihen geschrieben werden, die die Summe einer unendlichen Zahl von Termen sind, wobei jedes hat die Form C(n) x^n, wobei x eine Variable ist, n eine ganze Zahl ist und C(n) eine spezifische Zahl für jeden Wert von ist n. Zum Beispiel ist die Potenzreihe für die Sinusfunktion Sin (x) = x - x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040 +..., wobei „...“ Terme bedeutet, die sich fortsetzen zur Unendlichkeit. Wenn Sie die Potenzreihe einer Funktion kennen, können Sie die Ableitung der Funktion x^n aus der Ableitung der Potenz berechnen. Zum Beispiel ist die Ableitung von Sin (x) gleich 1 - x^2/2 + x^4/24 - x^6/720 +..., was zufällig die Potenzreihe für Cos (x) ist.
Ableitungen aus Tabellen
Die Ableitungen von Grundfunktionen wie Potenzen wie x^a, Exponentialfunktionen, Log-Funktionen und Trig-Funktionen werden mit der Steigungs-/Grenzwertmethode, der Potenzreihenmethode oder anderen Methoden gefunden. Diese Derivate werden dann in Tabellen aufgelistet. Zum Beispiel können Sie nachschlagen, dass die Ableitung von Sin (x) Cos (x) ist. Wenn komplexe Funktionen Kombinationen der Grundfunktionen sind, benötigen Sie spezielle Regeln wie die Kettenregel und die Produktregel, die ebenfalls in den Tabellen angegeben sind. Zum Beispiel verwenden Sie die Kettenregel, um herauszufinden, dass die Ableitung von Sin (x^2) 2xCos (x^2) ist. Sie verwenden die Produktregel, um zu ermitteln, dass die Ableitung von xSin (x) xCos (x) + Sin (x) ist. Mithilfe von Tabellen und einfachen Regeln können Sie die Ableitung jeder Funktion ermitteln. Aber wenn eine Funktion extrem komplex ist, greifen Wissenschaftler manchmal auf Computerprogramme zurück.