In der Mathematik besteht manchmal die Notwendigkeit zu beweisen, ob Funktionen im linearen Sinne voneinander abhängig oder unabhängig sind. Wenn Sie zwei Funktionen haben, die linear abhängig sind, führt die grafische Darstellung der Gleichungen dieser Funktionen zu überlappenden Punkten. Funktionen mit unabhängigen Gleichungen überlappen sich nicht, wenn sie grafisch dargestellt werden. Ein Verfahren zum Bestimmen, ob Funktionen abhängig oder unabhängig sind, besteht darin, den Wronski-Kreis für die Funktionen zu berechnen.
Was ist ein Wronskianer?
Die Wronski-Funktion von zwei oder mehr Funktionen ist eine sogenannte Determinante, eine spezielle Funktion, die verwendet wird, um mathematische Objekte zu vergleichen und bestimmte Fakten über sie zu beweisen. Im Fall des Wronski-Ansatzes wird die Determinante verwendet, um die Abhängigkeit oder Unabhängigkeit zwischen zwei oder mehr linearen Funktionen zu beweisen.
Die Wronski-Matrix
Um die Wronski-Funktion für lineare Funktionen zu berechnen, müssen die Funktionen innerhalb einer Matrix, die sowohl die Funktionen als auch ihre Ableitungen enthält, nach demselben Wert aufgelöst werden. Ein Beispiel dafür ist
W(f, g)(t)=\begin{vmatrix} f (t) & g (t) \\ f'(t) & g'(t) \end{vmatrix}
welches das Wronskiian für zwei Funktionen bereitstellt (fundG), die nach einem einzelnen Wert aufgelöst werden, der größer als Null ist (t); Sie können die beiden Funktionen sehenf(t) undG(t) in der obersten Zeile der Matrix und die Ableitungenf'(t) undG'(t) in der unteren Reihe. Beachten Sie, dass der Wronskian auch für größere Sets verwendet werden kann. Wenn Sie beispielsweise drei Funktionen mit einem Wronski-Analog testen, können Sie eine Matrix mit den Funktionen und Ableitungen von füllenf(t), G(t) undha(t).
Lösung des Wronskian
Sobald Sie die Funktionen in einer Matrix angeordnet haben, multiplizieren Sie jede Funktion mit der Ableitung der anderen Funktion und subtrahieren Sie den ersten Wert vom zweiten. Für das obige Beispiel erhalten Sie so
W(f, g)(t) = f (t) g'(t) - g (t) f'(t)
Wenn die endgültige Antwort null ist, zeigt dies, dass die beiden Funktionen abhängig sind. Wenn die Antwort etwas anderes als Null ist, sind die Funktionen unabhängig.
Wronski-Beispiel
Um Ihnen eine bessere Vorstellung davon zu geben, wie dies funktioniert, nehmen Sie an, dass
f (t) = x + 3 \text{ und } g (t) = x - 2
Mit einem Wert vont= 1, können Sie die Funktionen lösen als
f (1) = 4 \text{ und } g (1) = -1
Da es sich um grundlegende lineare Funktionen mit einer Steigung von 1 handelt, sind die Ableitungen von beidenf(t) undG(t) gleich 1. Das Kreuzmultiplizieren Ihrer Werte ergibt
W(f, g)(1) = (4 + 1) - (-1 + 1)
was ein Endergebnis von 5 ergibt. Obwohl die linearen Funktionen beide dieselbe Steigung haben, sind sie unabhängig, da sich ihre Punkte nicht überlappen. Wennf(t) ein Ergebnis von −1 anstelle von 4 erzeugt hätte, hätte der Wronskianer stattdessen ein Ergebnis von Null ausgegeben, um eine Abhängigkeit anzuzeigen.