Exponenten kommen in der Mathematik häufig vor. Egal, ob Sie algebraische Gleichungen vereinfachen, eine Gleichung neu anordnen oder einfach nur Berechnungen durchführen, Sie werden irgendwann auf sie stoßen. Die gute Nachricht ist, dass es einige einfache Regeln für den Umgang mit Exponenten gibt, und Sie werden in der Lage sein, Probleme mit ihnen mit Leichtigkeit zu bewältigen, sobald Sie sie in die Hand nehmen. Beim Dividieren von Exponenten gilt die Grundregel für Exponenten mit gleicher Basis, dass Sie den Exponenten im Nenner vom Exponenten im Zähler subtrahieren. Es gibt noch mehr zu lernen, aber das ist die Grundregel.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
Um Exponenten auf derselben Basis zu teilen, subtrahiere den Exponenten auf der zweiten Basis (den Nenner in einem Bruch) von dem auf der ersten (den Zähler in einem Bruch).
Die allgemeine Regel lautet: xein xb = x(ein−b)
Sie können diese Regel nur verwenden, wenn die Basis dieselbe ist. Wenn Sie auf Ausdrücke mit unterschiedlichen Basen stoßen, können Sie sie nur vereinfachen, indem Sie die allgemeine Regel für die Teile mit übereinstimmender Basis anwenden.
Exponenten verstehen
"Exponent" ist ein Name für die „Macht“, auf die eine bestimmte Zahl angehoben wird. Im Begriffxb, dasbist der Exponent. Exponenten sind Ihnen wahrscheinlich schon in verschiedenen Situationen begegnet – vielleicht in der Formel für den Flächeninhalt eines Kreises:EIN = πr2 wobei der Exponent 2 ist oder in Form von Quadratzahlen wie 32 = 9. Das letztere Beispiel hilft Ihnen zu verstehen, was Exponenten bedeuten: 3 × 3 = 32 = 9. Auf die gleiche Weise, 33 = 3 × 3 × 3 = 27. Es ist eine Kurzform, um zu sagen, wie oft eine Zahl oder ein Symbol mit sich selbst multipliziert wird. Mit der generischen Version,xb, der Name fürxist die „Basis“. In 32, 3 ist die Basis, und inr2, rist die Basis.
Die Regeln für Exponenten: Multiplizieren und Dividieren in derselben Basis
Das Multiplizieren und Dividieren von Zahlen mit Exponenten ist einfach, wenn Sie zwei grundlegende Exponentenregeln kennen. Das Multiplizieren ist etwas einfacher zu verstehen. Wenn Sie habenja3 × ja2, können Sie es vollständig aufschreiben, um zu verstehen, was vor sich geht:
y^3 × y^2 = (y × y × y) × (y × y) = y × y × y × y × y = y^5
In kürzerer Form ist dies nur:
y^3 × y^2 = y^5
Alles, was Sie tun müssen, um Exponenten zu multiplizieren, ist, die beiden Zahlen in den Exponenten zu addieren und sie auf dieselbe gemeinsame Basis zu legen. Das scheinbar komplizierte Problem ist nur eine einfache Addition. Das Dividieren von Exponenten kann auf die gleiche Weise verstanden werden:
y^3 ÷ y^2 = \frac{y × y × y}{y × y}
Zwei derjas im Bruch streichen. Das geht alsoja3 ÷ ja2 = ja1 = ja. Alles, was Sie beim Dividieren von Exponenten tun müssen, ist, den zweiten Exponenten vom ersten zu subtrahieren. Wenn sie wie ein Bruch formatiert sind, subtrahieren Sie den Exponenten im Nenner vom Exponenten im Zähler:
\frac{y^4}{y^2} = y^{(4-2)} = y^2
In der allgemeinen Form lautet die Multiplikationsregel:
x^a × x^b = x^{(a + b)}
Die Aufteilungsregel lautet:
x^a ÷ x^b = x^{(a − b)}
Dividieren von Exponenten in gemischten Basen
Wenn Sie Algebra mit Exponenten machen, gibt es in vielen Situationen verschiedene Basen in der Gleichung. Zum Beispiel könnten Sie aufx2ja3÷ x3ja2. Sie können nur mit Exponenten arbeiten, wenn sie die gleiche Basis haben, also arbeiten Sie mit demxTeile und diejaTeile einzeln:
x^2y^3÷x^3y^2 = x^{(2-3)}y^{(3-2)} = x^{-1}y^1
In Wirklichkeit,ja1 ist nurja, aber es wird hier der Übersichtlichkeit halber gezeigt. Beachten Sie, dass es möglich ist, negative Exponenten sowie positive. In diesem Fall,
x^{-1} = \frac{1}{x}
und auf die gleiche Weise
x^{-2} = \frac{1}{x^2}
Sie können die Ausdrücke nicht weiter vereinfachen, also ist dies alles, was Sie tun müssen.