Nichts bringt eine Gleichung so durcheinander wie Logarithmen. Sie sind umständlich, schwer zu manipulieren und für manche Menschen ein wenig mysteriös. Glücklicherweise gibt es eine einfache Möglichkeit, Ihre Gleichung von diesen lästigen mathematischen Ausdrücken zu befreien. Sie müssen sich nur daran erinnern, dass ein Logarithmus die Umkehrung eines Exponenten ist. Obwohl die Basis eines Logarithmus eine beliebige Zahl sein kann, sind die in der Wissenschaft am häufigsten verwendeten Basen 10 und e, eine irrationale Zahl, die als Eulersche Zahl bekannt ist. Um sie zu unterscheiden, verwenden Mathematiker "log", wenn die Basis 10 ist, und "ln", wenn die Basis e ist.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
Um eine Gleichung von Logarithmen zu befreien, erhebe beide Seiten auf denselben Exponenten wie die Basis der Logarithmen. Sammeln Sie in Gleichungen mit gemischten Termen alle Logarithmen auf einer Seite und vereinfachen Sie zuerst.
Was ist ein Logarithmus?
Das Konzept eines Logarithmus ist einfach, aber etwas schwer in Worte zu fassen. Ein Logarithmus gibt an, wie oft Sie eine Zahl mit sich selbst multiplizieren müssen, um eine andere Zahl zu erhalten. Anders ausgedrückt ist ein Logarithmus die Potenz, mit der eine bestimmte Zahl – die Basis genannt – erhöht werden muss, um eine andere Zahl zu erhalten. Die Potenz wird als Argument des Logarithmus bezeichnet.
Loggen Sie sich zum Beispiel ein82 = 64 bedeutet einfach, dass eine Erhöhung von 8 hoch 2 64 ergibt. Im Gleichungslog x = 100, die Basis wird als 10 verstanden und Sie können leicht nach dem Argument auflösen x weil es die Frage beantwortet, "10 hoch wie hoch 100?" Die Antwort ist 2.
Ein Logarithmus ist die Umkehrung eines Exponenten. Das Gleichungslog x = 100 ist eine andere Schreibweise für 10_x_ = 100. Diese Beziehung macht es möglich, Logarithmen aus einer Gleichung zu entfernen, indem beide Seiten auf denselben Exponenten wie die Basis des Logarithmus erhöht werden. Wenn die Gleichung mehr als einen Logarithmus enthält, müssen diese dieselbe Basis haben, damit dies funktioniert.
Beispiele
Im einfachsten Fall entspricht der Logarithmus einer unbekannten Zahl einer anderen Zahl:
\log x = y
Erhöhen Sie beide Seiten auf Exponenten von 10, und Sie erhalten
10^ {\log x} = 10^y
Seit 10(log x) ist einfach x, wird die Gleichung
x = 10^y
Wenn alle Terme in der Gleichung Logarithmen sind, erzeugt das Erhöhen beider Seiten zu einem Exponenten einen algebraischen Standardausdruck. Erhöhen Sie zum Beispiel
\log (x^2 - 1) = \log (x + 1)
hoch 10 und du erhältst:
x^2 - 1 = x + 1
was vereinfacht zu
x^2 - x - 2 = 0.
Die Lösungen sind x = −2; x = 1.
In Gleichungen, die eine Mischung aus Logarithmen und anderen algebraischen Termen enthalten, ist es wichtig, alle Logarithmen auf einer Seite der Gleichung zu sammeln. Sie können dann Terme hinzufügen oder subtrahieren. Nach dem Logarithmusgesetz gilt:
\log x + \log y = \log (xy) \\ \,\\ \log x - \log y = \log \bigg(\frac{x}{y}\bigg)
So lösen Sie eine Gleichung mit gemischten Termen:
Beginnen Sie mit der Gleichung: Zum Beispiel
\log x = \log (x - 2) + 3
Ordne die Begriffe neu an:
\log x - \log (x - 2) = 3
Wenden Sie das Gesetz der Logarithmen an:
\log \bigg(\frac{x}{x-2}\bigg) = 3
Erhöhe beide Seiten mit einer Potenz von 10:
\bigg(\frac{x}{x-2}\bigg) = 10^3
Lösen für x:
\bigg(\frac{x}{x-2}\bigg) = 10^3 \\ x = 1000x - 2000 \\ -999x = -2000 \\ x = \frac{2000}{999}=2.002
