Die Gleichung einer Ebene im dreidimensionalen Raum kann in algebraischer Schreibweise als ax + by + cz = d geschrieben werden, wobei mindestens eines von die reellen Zahlenkonstanten "a", "b" und "c" dürfen nicht Null sein und "x", "y" und "z" repräsentieren die Achsen des dreidimensionalen Flugzeug. Wenn drei Punkte angegeben sind, können Sie die Ebene mit Hilfe von Vektorkreuzprodukten bestimmen. Ein Vektor ist eine Linie im Raum. Ein Kreuzprodukt ist die Multiplikation zweier Vektoren.
Holen Sie sich die drei Punkte im Flugzeug. Beschriften Sie sie mit "A", "B" und "C". Angenommen, diese Punkte sind beispielsweise A = (3, 1, 1); B = (1, 4, 2); und C = (1, 3, 4).
Finden Sie zwei verschiedene Vektoren auf der Ebene. Wählen Sie im Beispiel die Vektoren AB und AC. Der Vektor AB geht von Punkt-A zu Punkt-B und Vektor AC geht von Punkt-A zu Punkt-C. Subtrahiere also jede Koordinate in Punkt-A von jeder Koordinate in Punkt-B, um den Vektor AB zu erhalten: (-2, 3, 1). In ähnlicher Weise ist der Vektor AC Punkt-C minus Punkt-A oder (-2, 2, 3).
Berechnen Sie das Kreuzprodukt der beiden Vektoren, um einen neuen Vektor zu erhalten, der normal (oder senkrecht oder orthogonal) zu jedem der beiden Vektoren und auch zur Ebene ist. Das Kreuzprodukt zweier Vektoren (a1, a2, a3) und (b1, b2, b3) ist gegeben durch N = i (a2b3 - a3b2) + j (a3b1 - a1b3) + k (a1b2 - a2b1). Im Beispiel ist das Kreuzprodukt N von AB und AC i[(3 x 3) - (1 x 2)] + j[(1 x -2) - (-2 x 3)] + k[( -2 x 2) - (3x - 2)], was sich zu N = 7i + 4j + 2k vereinfacht. Beachten Sie, dass „i“, „j“ und „k“ verwendet werden, um Vektorkoordinaten darzustellen.
Leiten Sie die Gleichung der Ebene her. Die Gleichung der Ebene ist Ni (x - a1) + Nj (y - a2) + Nk (z - a3) = 0, wobei (a1, a2, a3) ein beliebiger Punkt in der Ebene ist und (Ni, Nj, Nk ) ist der Normalenvektor N. Im Beispiel mit Punkt C, der (1, 3, 4) ist, ist die Gleichung der Ebene 7(x - 1) + 4(y - 3) + 2(z - 4) = 0, was vereinfacht zu 7x - 7 + 4y - 12 + 2z - 8 = 0 oder 7x + 4y + 2z = 27.
Bestätigen Sie Ihre Antwort. Ersetzen Sie die ursprünglichen Punkte, um zu sehen, ob sie die Gleichung der Ebene erfüllen. Um das Beispiel abzuschließen: Wenn Sie einen der drei Punkte ersetzen, werden Sie feststellen, dass die Gleichung der Ebene tatsächlich erfüllt ist.
Tipps
Siehe Ressourcen für Tipps zur Verwendung von Systemen aus drei gleichzeitigen Gleichungen, um die Gleichung einer Ebene zu finden.