Eine Normalkurve ist der Name des Graphen der Standard-Normal-Wahrscheinlichkeitsverteilung, worüber die Leute (oft unwissentlich) sprechen, wenn sie eine "Glockenkurve" erwähnen, die zeigt, wo Personen oder andere Variablen in Bezug auf einen Bevölkerungsdurchschnitt oder -mittelwert stehen.
Eine Standardnormalkurve bietet sowohl eine visuelle als auch eine numerische Darstellung der Verteilung einer gegebenen Variablen über eine Population, wenn die Es ist bekannt, dass die durch die Funktion dargestellte reale Situation eine symmetrische Verteilung in der interessierenden Population aufweist (daher die "Glocke" gestalten). Dies könnte den IQ oder die Körpergröße bei Männern einschließen, die sowohl zur einen als auch zur anderen Seite des Mittelwerts schwanken können und wahrscheinlich auch um dieselbe Größenordnung schwanken.
Alle Normalkurven und ihre zugehörigen Daten haben bestimmte Attribute gemeinsam, die die Generierung ermöglichen von numerischen Tabellen, die die Lösung von Flächenwerten anstelle komplexerer mathematischer Berechnungen.
Die Standardnormalverteilung
In jeder Normalverteilung liegen per Definition knapp 68 Prozent der Datenpunkte innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert der Grundgesamtheit oder Grundgesamtheitsstichprobe. Ungefähr 95 Prozent liegen innerhalb von zwei Standardabweichungen und 99,9 Prozent liegen innerhalb von drei Standardabweichungen.
Jeder Standardabweichungsmarkierung wird ein ganzzahliger Wert über den Mittelwert zugewiesen (z. B. -3, -2, 1, 1, 2, 3) und der variabel z. Dieser Wert oder Z-Score kann auch nicht ganzzahlige Werte annehmen (z. B. -2,58).
Z-Scores werden verwendet, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass ein Ereignis innerhalb eines bestimmten Bereichs von Möglichkeiten eintritt. Wenn Ihnen zum Beispiel gesagt wird, dass der Mittelwert und die Standardabweichung für IQ (Intelligenzquotient) 100 und 20 Punkte betragen, so dass z = 0 für IQ = 100 und z = 1,0 für IQ = 120 und werden gebeten, die Wahrscheinlichkeit anzugeben, dass eine zufällig ausgewählte Person einen IQ von 140 oder höher hat, verwenden Sie eine z-Tabelle, um zu einer Lösung zu gelangen.
Der Bereich unter der Normalkurve
In den meisten Fällen in der Mathematik wird die Fläche unter der Kurve des Graphen einer Gleichung durch Manipulation gefunden die einzigartigen Elemente dieser Gleichung direkt, z. B. durch Integrieren der Kurve zwischen den x-Koordinaten von Interesse. Bei der Normalkurve schlagen Sie stattdessen entweder eine oder zwei Zahlen in einer Tabelle namens Z-Werte nach und führen bei Bedarf einen Subtraktionsschritt durch.
Der Fläche unter der gesamten Normalkurve wird unabhängig von ihrer genauen Form der Wert 1,0 zugewiesen. Alle Teilbereiche unter dem Normalkurven sind also Dezimalzahlen zwischen 0 und 1 und können durch Multiplikation mit 100 leicht in Prozentwerte umgerechnet werden.
Z-Tabellen ermöglichen Ablesungen bis zur hundertsten Stelle der Punktzahl, um Bereiche mit vier oder fünf signifikanten Stellen anzugeben. Dies geschieht, indem man den zehnten Platz auf der linken Achse erhält und dann über die entsprechende Zeile liest, um den hundertsten Platz zu erhalten.
- Dies erklärt, warum der Flächenanteil links von z = -2,58 0,00494 beträgt.
Normalverteilung: Fläche zwischen zwei Punkten
Angenommen, Sie möchten in einem Test mit einem Mittelwert von 80 und einer Standardabweichung von 10 wissen, wie viel Prozent der Schüler zwischen 65 und 85 Punkte hatten.
Sie würden damit beginnen, die zu finden obere und untere Z-Werte. Dies geschieht, indem Sie den Mittelwert von Ihrer Obergrenze abziehen und durch die Standardabweichung dividieren: (85 - 80)/10 = 0,50. Die untere Schranke finden Sie dann auf die gleiche Weise: (65 - 80)/10 -1,50.
Nun können Sie diesen Z-Scores Flächenwerte zuweisen, indem Sie sich auf die Tabelle beziehen. Diese Werte sind 0,68916 für z = 0,5 und 0,06681 für z = 1,5. Jeder dieser Bereiche repräsentiert den Bereich unter der Kurve vom linken "Schwanz" nach den fraglichen x-Wert, also für die Fläche zwischen den beiden Punkten x = 65 und x = 85, subtrahieren Sie den kleineren Wert vom größeren, um zu erhalten 0.63135.
Somit ist zu erwarten, dass 63,1 Prozent der Werte bei einer Standardabweichung von 10 in einer Normalverteilung im Bereich von 65 bis 85 liegen.