Ein positiver Exponent sagt dir, wie oft du die Basiszahl mit sich selbst multiplizieren musst. Zum Beispiel der Exponentialtermja3 ist das gleiche wieja × ja × ja, oderjadoppelt mit sich selbst multipliziert. Sobald Sie dieses Grundkonzept verstanden haben, können Sie zusätzliche Ebenen wie negative Exponenten, Bruchexponenten oder sogar eine Kombination aus beiden hinzufügen.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
Ein negativer, gebrochener Exponentja −ich/nein kann auf die Form faktorisiert werden:
1 / (nein√ja)ich
Negative Potenzen faktorisieren
Bevor wir negative, gebrochene Exponenten faktorisieren, werfen wir einen kurzen Blick darauf, wie negative Exponenten oder negative Potenzen im Allgemeinen faktorisiert werden. Ein negativer Exponent macht genau das Gegenteil eines positiven Exponenten. Während also ein positiver Exponent wieein4 sagt dir, dass du multiplizieren sollsteinallein dreimal (also insgesamt vier im Ausdruck), oderein × ein × ein × ein,Wenn Sie einen negativen Exponenten sehen, müssen Sie es tunTeilendurcheinviermal: so
a^{-4} = \frac{1}{a × a × a × a}
Oder um es formeller auszudrücken:
x^{-y} = \frac{1}{x^y}
Faktorisieren von gebrochenen Exponenten
Der nächste Schritt besteht darin, zu lernen, wie man gebrochene Exponenten faktorisiert. Beginnen wir mit einem sehr einfachen gebrochenen Exponenten, wie zx1/ja. Wenn Sie einen solchen Bruchexponenten sehen, müssen Sie denjaWurzel der Basiszahl. Um es formeller auszudrücken:
x^{1/y} = \sqrt[y]{x}
Wenn das verwirrend erscheint, können ein paar konkretere Beispiele helfen:
y^{1/3} = \sqrt[3]{y} \\ b^{1/2 }= \sqrt{b}
(Denken Sie daran, √xist das gleiche wie 2√x;aber dieser Ausdruck ist so gebräuchlich, dass die 2, oder Indexnummer, wird weggelassen.)
8^{1/3} = \sqrt[3]{8}= 2
Was ist, wenn der Zähler des gebrochenen Exponenten nicht 1 ist? Dann bleibt der Wert dieser Zahl als Exponent erhalten, der auf den gesamten "Wurzel"-Term angewendet wird. Formal bedeutet das:
y^{m/n} = (\sqrt[n]{y})^m
Betrachten Sie als konkreteres Beispiel Folgendes:
a^{b/5} = (\sqrt[5]{a})^b
Kombinieren von negativen und gebrochenen Exponenten
Wenn es um das Faktorisieren negativer gebrochener Exponenten geht, können Sie das, was Sie über das Faktorisieren von Ausdrücken mit negativen Exponenten und solchen mit gebrochenen Exponenten gelernt haben, kombinieren.
Merken,
x^{-y} = \frac{1}{x^y}
unabhängig davon, was in derjaStelle;jakönnte sogar ein Bruchteil sein.
Also wenn du einen Ausdruck hastx −ein/b, das ist gleich 1/(xein/b). Aber Sie können noch einen Schritt weiter vereinfachen, indem Sie das, was Sie über gebrochene Exponenten wissen, auch auf den Term im Nenner des Bruchs anwenden.
Merken,
y^{m/n} = (\sqrt[n]{y})^m
oder, um die Variablen zu verwenden, mit denen Sie bereits zu tun haben,
x^{a/b} = (\sqrt[b]{x})^a
Also, gehen Sie diesen weiteren Schritt der Vereinfachungx −ein/b, du hast
x^{-a/b} = \frac{1}{x^{a/b}} = \frac{1}{(\sqrt[b]{x})^a}
So weit kannst du vereinfachen, ohne mehr darüber zu wissenx, boderein.Wenn Sie jedoch mehr über einen dieser Begriffe wissen, können Sie ihn möglicherweise weiter vereinfachen.
Ein weiteres Beispiel für die Vereinfachung gebrochener negativer Exponenten
Um dies zu veranschaulichen, hier ein weiteres Beispiel mit etwas mehr Informationen:
Vereinfachen
16^{-4/8}
Ist Ihnen zunächst aufgefallen, dass −4/8 auf −1/2 reduziert werden kann? Du hast also 16 −1/2, die schon viel freundlicher (und vielleicht sogar vertrauter) aussieht als das ursprüngliche Problem.
Vereinfachen Sie wie zuvor, Sie gelangen zu
16^{-1/2} = \frac{1}{(\sqrt[2]{16})^1}
was normalerweise einfach geschrieben wird als
\frac{1}{\sqrt{16}}
Und da Sie wissen (oder schnell berechnen können), dass √16 = 4 ist, können Sie diesen letzten Schritt vereinfachen zu:
16^{-4/8} = \frac{1}{4}