Rationale Ausdrücke erscheinen komplizierter als einfache ganze Zahlen, aber die Regeln für ihre Multiplikation und Division sind leicht zu verstehen. Egal, ob Sie sich mit einem komplizierten algebraischen Ausdruck oder einem einfachen Bruch befassen, die Regeln für Multiplikation und Division sind im Grunde die gleichen. Nachdem Sie gelernt haben, was rationale Ausdrücke sind und wie sie sich auf gewöhnliche Brüche beziehen, können Sie sie sicher multiplizieren und dividieren.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
Das Multiplizieren und Dividieren rationaler Ausdrücke funktioniert genauso wie das Multiplizieren und Dividieren von Brüchen. Um zwei rationale Ausdrücke zu multiplizieren, multiplizieren Sie die Zähler miteinander und dann die Nenner miteinander.
Um einen rationalen Ausdruck durch einen anderen zu dividieren, folgen Sie denselben Regeln wie bei der Division eines Bruchs durch einen anderen. Drehen Sie zuerst den Bruch im Divisor (durch den Sie dividieren) auf den Kopf und multiplizieren Sie ihn dann mit dem Bruch im Dividenden (durch den Sie dividieren).
Was ist ein rationaler Ausdruck?
Der Begriff „rationaler Ausdruck“ beschreibt einen Bruch, bei dem Zähler und Nenner Polynome sind. Ein Polynom ist ein Ausdruck wie
2x^2 + 3x + 1
bestehend aus Konstanten, Variablen und Exponenten (die nicht negativ sind). Der folgende Ausdruck:
\frac{x + 5}{x^2 - 4}
Liefert ein Beispiel für einen rationalen Ausdruck. Dies hat im Grunde die Form eines Bruchs, nur mit einem komplizierteren Zähler und Nenner. Beachten Sie, dass rationale Ausdrücke nur gültig sind, wenn der Nenner ungleich Null ist, daher ist das obige Beispiel nur gültig, wennx ≠ 2.
Multiplizieren von rationalen Ausdrücken
Die Multiplikation rationaler Ausdrücke folgt im Grunde den gleichen Regeln wie die Multiplikation eines beliebigen Bruchs. Wenn Sie einen Bruch multiplizieren, multiplizieren Sie einen Zähler mit dem anderen und einen Nenner mit dem anderen, und wenn Sie multiplizieren Bei rationalen Ausdrücken multipliziert man einen ganzen Zähler mit dem anderen Zähler und den ganzen Nenner mit dem anderen Nenner.
Für einen Bruchteil schreibst du:
\begin{ausgerichtet} \frac{2}{5} × \frac{4}{7} &= \frac{2 × 4}{5 × 7} \\ \,\\ &= \frac{8}{ 35} \end{ausgerichtet}
Für zwei rationale Ausdrücke verwenden Sie denselben grundlegenden Prozess:
\begin{ausgerichtet} \frac{x + 5}{x - 4} × \frac{x}{x + 1} &= \frac{(x + 5) × x}{(x - 4) × (x + 1)} \\ \,\\ &= \frac{x^2 + 5x}{x^2 -4x + x - 4} \\ \,\\ &= \frac{x^2 + 5x}{ x^2 - 3x - 4} \end{ausgerichtet}
Wenn Sie eine ganze Zahl (oder einen algebraischen Ausdruck) mit einem Bruch multiplizieren, multiplizieren Sie einfach den Zähler des Bruchs mit der ganzen Zahl. Dies liegt daran, dass jede ganze Zahlneinkann geschrieben werden alsnein/ 1 und dann den Standardregeln zum Multiplizieren von Brüchen folgend, ändert der Faktor 1 den Nenner nicht. Das folgende Beispiel veranschaulicht dies:
\begin{ausgerichtet} \frac{x + 5}{x^2 - 4} × x &= \frac{x + 5}{x^2 - 4} × \frac{x}{1} \\ \, \\ &= \frac{(x + 5) × x}{(x^2 - 4) × 1}\\ \,\\ =& \frac{x^2 + 5x}{x^2 - 4} \end{ausgerichtet}
Rationale Ausdrücke teilen
Wie das Multiplizieren rationaler Ausdrücke folgt auch das Dividieren rationaler Ausdrücke denselben Grundregeln wie das Dividieren von Brüchen. Wenn Sie zwei Brüche dividieren, drehen Sie im ersten Schritt den zweiten Bruch auf den Kopf und multiplizieren dann. So:
\begin{aligned} \frac{4}{5} ÷ \frac{3}{2} &= \frac{4}{5} × \frac{2}{3} \\ \,\\ &= \ frac{4 × 2}{5 × 3} \\ \,\\ &= \frac{8}{15} \end{ausgerichtet}
Die Division zweier rationaler Ausdrücke funktioniert auf die gleiche Weise, also:
\begin{ausgerichtet} \frac{x + 3}{2x^2} ÷ \frac{4}{3x} &= \frac{x + 3}{2x^2} × \frac{3x}{4} \ \ \,\\ &= \frac{(x + 3) × 3x}{2x^2 × 4} \\ \,\\ &= \frac{3x^2 + 9x}{8x^2} \end{ ausgerichtet}
Dieser Ausdruck kann vereinfacht werden, denn es gibt einen Faktor vonx(einschließlichx2) in beiden Termen im Zähler und einem Faktor vonx2 im Nenner. Ein Satz vonxs können stornieren, um zu geben:
\begin{ausgerichtet} \frac{3x^2 + 9x}{8x^2} &= \frac{x (3x + 9)} {8x^2} \\ &= \frac{3x + 9}{8x} \end{ausgerichtet}
Sie können Ausdrücke nur vereinfachen, wenn Sie wie oben einen Faktor aus dem gesamten Ausdruck oben und unten entfernen können. Der folgende Ausdruck:
\frac{x - 1}{x}
Kann nicht auf die gleiche Weise vereinfacht werden, da diexim Nenner teilt den ganzen Term im Zähler. Du könntest schreiben:
\begin{aligned} \frac{x-1}{x} &= \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \\ &= 1 - \frac{1}{x} \end {ausgerichtet}
Aber wenn du wolltest.