In der Mathematik ist eine Funktion eine Regel, die jedes Element in einer Menge, dem sogenannten Bereich, mit genau einem Element in einer anderen Menge, dem sogenannten Bereich, in Beziehung setzt. Auf einemx-jaAchse wird die Domäne auf derx-Achse (horizontale Achse) und die Domäne auf derja-Achse (vertikale Achse). Eine Regel, die ein Element in der Domäne mit mehr als einem Element im Bereich verknüpft, ist keine Funktion. Diese Anforderung bedeutet, dass Sie beim Zeichnen einer Funktion keine vertikale Linie finden können, die den Graphen an mehr als einer Stelle kreuzt.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
Eine Relation ist nur dann eine Funktion, wenn sie jedes Element in ihrem Bereich nur einem Element im Bereich zuordnet. Wenn Sie eine Funktion grafisch darstellen, schneidet eine vertikale Linie sie nur an einem Punkt.
Mathematische Darstellung
Mathematiker stellen Funktionen normalerweise durch die Buchstaben "f(x),", obwohl alle anderen Buchstaben genauso gut funktionieren. Sie lesen die Briefe als "
fvonx." Wenn Sie die Funktion alsG(ja), würdest du es lesen als "Gvonja." Die Gleichung für die Funktion definiert die Regel, nach der der Eingabewertxwird in eine andere Zahl umgewandelt. Es gibt unendlich viele Möglichkeiten, dies zu tun. Hier drei Beispiele:f (x) = 2x \\ \,\\ g (y) = y^2 + 2y + 1 \\ \,\\ p (m) = \frac{1}{\sqrt{m - 3}}
Bestimmung der Domäne
Die Menge von Zahlen, für die die Funktion "arbeitet", ist die Domäne. Dies können alle Zahlen sein oder es kann ein bestimmter Satz von Zahlen sein. Die Domäne kann auch aus allen Zahlen bestehen, außer ein oder zwei, für die die Funktion nicht funktioniert. Zum Beispiel die Domäne für die Funktion
f(x) = \frac{1}{2-x}
sind alle Zahlen außer 2, denn wenn Sie zwei eingeben, ist der Nenner 0 und das Ergebnis ist undefiniert. Die Domain für
\frac{1}{4 - x^2}
Auf der anderen Seite sind alle Zahlen außer +2 und -2, da das Quadrat dieser beiden Zahlen 4 ist.
Sie können den Bereich einer Funktion auch anhand ihres Graphen identifizieren. Beginnen Sie ganz links und bewegen Sie sich nach rechts und ziehen Sie vertikale Linien durch diex-Achse. Die Domäne sind alle Werte vonxfür die die Gerade den Graphen schneidet.
Wann ist eine Relation keine Funktion?
Per Definition bezieht eine Funktion jedes Element in der Domäne nur auf ein Element im Bereich. Dies bedeutet, dass jede vertikale Linie, die Sie durch diex-axis kann die Funktion nur an einem Punkt schneiden. Dies funktioniert für alle linearen Gleichungen und Gleichungen höherer Potenz, bei denen nur der x-Term auf einen Exponenten erhöht wird. Es funktioniert nicht immer für Gleichungen, in denen sowohl diexundjaBegriffe werden zu einer Macht erhoben. Beispielsweise,x2 + ja2 = ein2 definiert einen Kreis. Eine vertikale Linie kann einen Kreis an mehr als einem Punkt schneiden, daher ist diese Gleichung keine Funktion.
Im Allgemeinen ist eine Beziehungf(x) = jaist nur dann eine Funktion, wenn für jeden Wert vonxdass du es einsteckst, bekommst du nur einen Wert fürja. Manchmal kann man nur feststellen, ob eine gegebene Beziehung eine Funktion ist oder nicht, indem man verschiedene Werte für x ausprobiert, um zu sehen, ob sie eindeutige Werte fürja.
Beispiele:Definieren die folgenden Gleichungen Funktionen?
y = 2x +1
Dies ist die Gleichung einer Geraden mit Steigung 2 undja-Abfangen 1, also ist esISeine Funktion.
y^2 = x + 1
Lassenx= 3. Der Wert für y kann dann ±2 sein, also ist diesIST NICHTeine Funktion.
y^3 = x^2
Egal auf welchen Wert wir setzenx, wir erhalten nur einen Wert fürja, also dasISeine Funktion.
y^2 = x^2
weilja = ±√x2, dieseIST NICHTeine Funktion.