Der Umgang mit Exponenten ist ein wesentlicher Bestandteil jedes Mathematikunterrichts, aber zum Glück stimmen die Regeln für das Multiplizieren und Dividieren mit den Regeln für nicht gebrochene Exponenten überein. Der erste Schritt, um zu verstehen, wie man mit gebrochenen Exponenten umgeht, besteht darin, sich einen Überblick darüber zu verschaffen, was genau sie sind. und dann können Sie sich ansehen, wie Sie Exponenten kombinieren können, wenn sie multipliziert oder dividiert werden und dasselbe haben Base. Kurz gesagt, Sie addieren die Exponenten beim Multiplizieren und subtrahieren beim Dividieren voneinander, sofern sie die gleiche Basis haben.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
Multiplizieren Sie Terme mit Exponenten nach der allgemeinen Regel:
xein + xb = x(ein + b)
Und dividiere Terme mit Exponenten nach der Regel:
xein ÷ xb = x(ein – b)
Diese Regeln funktionieren mit jedem Ausdruck anstelle voneinundb, sogar Brüche.
Was sind Bruchexponenten?
Bruchexponenten bieten eine kompakte und nützliche Möglichkeit, Quadrat-, Würfel- und höhere Wurzeln auszudrücken. Der Nenner des Exponenten sagt Ihnen, für welche Wurzel der „Basis“ der Term steht. In einem Begriff wie
xein, du rufst anxdie Basis undeinder Exponent. Ein gebrochener Exponent sagt Ihnen also:x^{1/2} = \sqrt{x}
Der Nenner von zwei auf dem Exponenten sagt Ihnen, dass Sie die Quadratwurzel von ziehenxin diesem Ausdruck. Die gleiche Grundregel gilt für höhere Wurzeln:
x^{1/3} = \sqrt[3]{x}
Und
x^{1/4} = \sqrt[4]{x}
Dieses Muster setzt sich fort. Für ein konkretes Beispiel:
9^{1/2} = \sqrt{9}=3
Und
8^{1/3} = \sqrt[3]{8}=2
Bruchexponentenregeln: Bruchexponenten mit derselben Basis multiplizieren
Multiplizieren Sie Terme mit gebrochenen Exponenten (vorausgesetzt, sie haben die gleiche Basis), indem Sie die Exponenten addieren. Beispielsweise:
x^{1/3} × x^{1/3} × x^{1/3} = x^{(1/3 + 1/3 + 1/3)} \\ = x^1 = x
Schon seitx1/3 bedeutet „die Kubikwurzel vonx“, macht es durchaus Sinn, dass dies mit sich selbst doppelt multipliziert das Ergebnis ergibtx. Sie können auch auf Beispiele stoßen wiex1/3 × x1/3, aber Sie gehen damit genauso um:
x^{1/3} × x^{1/3} = x^{( 1/3 + 1/3)} \\ = x^{2/3}
Die Tatsache, dass der Ausdruck am Ende immer noch ein gebrochener Exponent ist, macht für den Prozess keinen Unterschied. Dies kann vereinfacht werden, wenn Sie das beachtenx2/3 = (x1/3)2 = ∛x2. Bei einem solchen Ausdruck spielt es keine Rolle, ob Sie zuerst die Wurzel oder die Macht nehmen. Dieses Beispiel veranschaulicht, wie diese berechnet werden:
8^{1/3} + 8^{1/3} = 8^{2/3} \\ = (\sqrt[3]{8})^2
Da die Kubikwurzel von 8 leicht zu berechnen ist, gehen Sie wie folgt vor:
(\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4
Das bedeutet also:
8^{1/3} + 8^{1/3}= 4
Sie können auch auf Produkte von gebrochenen Exponenten mit unterschiedlichen Zahlen in den Nennern der Brüche stoßen, und Sie können diese Exponenten auf die gleiche Weise addieren, wie Sie andere Brüche hinzufügen würden. Beispielsweise:
\begin{ausgerichtet} x^{1/4} × x^{1/2} &= x^{(1/4 + 1/2)} \\ &= x^{(1/4 + 2/4 )} \\ &= x^{3/4} \end{ausgerichtet}
Dies sind alles spezifische Ausdrücke der allgemeinen Regel zum Multiplizieren zweier Ausdrücke mit Exponenten:
x^a + x^b = x^{(a + b)}
Bruchexponentenregeln: Bruchexponenten mit derselben Basis dividieren
Bewältigen Sie die Division zweier Zahlen mit gebrochenen Exponenten, indem Sie den Exponenten, den Sie dividieren (den Divisor) von dem, den Sie dividieren (den Dividenden), subtrahieren. Beispielsweise:
x^{1/2} ÷ x^{1/2} = x^{(1/2 - 1/2)} \\ = x^0 = 1
Dies ist sinnvoll, da jede durch sich selbst geteilte Zahl eins ist, und dies stimmt mit dem Standardergebnis überein, dass jede mit 0 potenzierte Zahl gleich eins ist. Das nächste Beispiel verwendet Zahlen als Basis und verschiedene Exponenten:
\begin{ausgerichtet} 16^{1/2} ÷ 16^{1/4} &= 16^{(1/2 - 1/4)} \\ &= 16^{(2/4 - 1/4 .) )} \\ &= 16^{1/4} \\ &= 2 \end{ausgerichtet}
Was Sie auch sehen können, wenn Sie sich merken, dass 161/2 = 4 und 161/4 = 2.
Wie bei der Multiplikation können Sie auch bei gebrochenen Exponenten mit einer anderen Zahl als Eins im Zähler landen, aber Sie behandeln diese auf die gleiche Weise.
Diese drücken einfach die allgemeine Regel zum Dividieren von Exponenten aus:
x^a ÷ x^b = x^{(a - b)}
Multiplizieren und Dividieren von Bruchexponenten in verschiedenen Basen
Wenn die Basen der Terme unterschiedlich sind, gibt es keine einfache Möglichkeit, Exponenten zu multiplizieren oder zu dividieren. Berechnen Sie in diesen Fällen einfach den Wert der einzelnen Terme und führen Sie dann die erforderliche Operation durch. Die einzige Ausnahme ist, wenn der Exponent gleich ist. In diesem Fall können Sie sie wie folgt multiplizieren oder dividieren:
x^4 × y^4 = (xy)^4 \\ x^4 ÷ y^4 = (x ÷ y)^4