Wenn es ein mathematisches Fach gibt, das fast jeder Schüler beim ersten Kontakt als Herausforderung empfindet, dann ist es die Algebra, insbesondere die Faktorisierung von Trinomen. Es gibt mehrere Methoden zum Faktorisieren von Trinomen, und keine davon ist das, was man als "einfach" bezeichnen würde. Jeder kann jedoch mit konsequentem Studium und Praxis verstanden werden.
Was ist ein Trinom?
Zuerst müssen Sie wissen, was ein Polynom ist. Ein Polynom ist eine algebraische Gleichung mit Termen, Zahlenkombinationen und Variablen wie 3x und 5y. Einige Beispiele für Polynome sind 2x + 3, 3xy - 4y und 3x + 4xy - 5y. Das letzte Beispiel wird Trinom genannt. Ein Trinom ist ein Polynom mit drei Termen.
Größter gemeinsamer Teiler
Die erste und wohl "einfachste" Methode zur Faktorisierung von Trinomen besteht darin, den größten gemeinsamen Faktor zu finden – die größte Zahl, Variable oder Term, die die drei Terme gemeinsam haben. Beim Trinom 2x^2 + 6x + 4 ist beispielsweise die Zahl 2 die einzige Zahl, die alle drei Terme gemeinsam haben. Wenn Sie also 2 herausrechnen, erhalten Sie 2(x^2 + 3x + 2). Das Trinom innerhalb der Klammern kann tatsächlich weiter faktorisiert werden.
Quadratische Trinome faktorisieren
Das Trinom x^2 + 3x + 2 ist ein quadratisches Trinom, weil es einen Term mit einer Zweierpotenz hat. Um dieses Polynom zu faktorisieren, müssen Sie einige Regeln über Quadrate kennen. Erstens sind die Faktoren quadratischer Trinome normalerweise zwei Binome, wie x + 2 oder 2y - 3. Zweitens ist der erste Term des quadratischen Trinoms das Produkt der ersten Terme der beiden Binome. Drittens ist der letzte Term des quadratischen Trinoms das Produkt der letzten Terme der beiden Binome. Viertens ist der Koeffizient des mittleren Termes des quadratischen Trinoms die Summe der letzten Terme der beiden Binome. Fünftens, wenn alle Vorzeichen im quadratischen Trinom positiv sind, sind alle Vorzeichen in beiden Binomialen positiv.
Factoring-Beispiel
Um das quadratische Trinom x^2 + 3x + 2 zu faktorisieren, beginnen Sie mit zwei Klammern ( )( ). Führen Sie den zweiten Schritt aus, indem Sie ein x in beide Klammern schreiben, (x )(x ). Die Variable x^2 ist gleich x multipliziert mit x und erfüllt die erste Regel. Der dritte Schritt besagt, dass der letzte Term des Trinoms das Produkt der letzten Terme beider Binome ist, also muss der letzte entweder 1 und 2 oder -1 und -2 sein – beide sind gleich 2. Der vierte Schritt besagt, dass der mittlere Term-Koeffizient die Summe der letzten Terme der beiden Binome ist. Nur 1 und 2 sind gleich 3, also ist die Lösung (x + 1)(x + 2). Auch die fünfte Regel ist erfüllt.
Sonderfälle und weitere Informationen
Manchmal müssen Sie das Trinom umschreiben, um das Factoring zu vereinfachen. Das Trinom 3x + 2y + 3xy ist in der logischeren Reihenfolge 3x + 3xy + 2y mit allen gleichen Termen zusammen leichter zu lösen. Die Neuordnung der Trinome kann nur verwendet werden, wenn alle Vorzeichen im Trinom positiv sind. Außerdem können einige Trinome nicht faktorisiert werden, z. B. x^2 + 4x +2. Dieses Trinom kann nicht weiter zerlegt werden.