Eine periodische Funktion ist eine Funktion, die ihre Werte in regelmäßigen Abständen oder „Perioden“ wiederholt. Denk an es wie ein Herzschlag oder der zugrunde liegende Rhythmus in einem Lied: Es wiederholt die gleiche Aktivität in einem gleichmäßigen Schlag. Der Graph einer periodischen Funktion sieht aus, als würde sich ein einzelnes Muster immer wieder wiederholen.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
Eine periodische Funktion wiederholt ihre Werte in regelmäßigen Intervallen oder „Perioden“.
Arten von periodischen Funktionen
Die bekanntesten periodischen Funktionen sind trigonometrische Funktionen: Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens, Sekante, Kosekans usw. Andere Beispiele für periodische Funktionen in der Natur sind Lichtwellen, Schallwellen und Mondphasen. Jedes von diesen erzeugt, wenn es auf der Koordinatenebene grafisch dargestellt wird, ein sich wiederholendes Muster im gleichen Intervall, was die Vorhersage erleichtert.
Die Periode einer periodischen Funktion ist das Intervall zwischen zwei „übereinstimmenden“ Punkten im Graphen. Mit anderen Worten, es ist die Entfernung entlang der
Eine andere Möglichkeit, Periode und Wiederholung für trigonometrische Funktionen zu verstehen, besteht darin, sie in Bezug auf den Einheitskreis zu betrachten. Auf dem Einheitskreis gehen die Werte um den Kreis herum, wenn sie größer werden. Diese sich wiederholende Bewegung ist dieselbe Idee, die sich im stetigen Muster einer periodischen Funktion widerspiegelt. Und für Sinus und Cosinus müssen Sie einen vollständigen Pfad um den Kreis (2π) machen, bevor sich die Werte zu wiederholen beginnen.
Gleichung für eine periodische Funktion
Eine periodische Funktion kann auch als Gleichung mit dieser Form definiert werden:
f (x + nP) = f (x)
WoPist die Periode (eine Konstante ungleich Null) undneinist eine positive ganze Zahl.
Sie können die Sinusfunktion beispielsweise so schreiben:
\sin(x + 2π) = \sin(x)
nein= 1 in diesem Fall und die Periode,P, für eine Sinusfunktion ist 2π.
Testen Sie es, indem Sie einige Werte für. ausprobierenx, oder sehen Sie sich die Grafik an: Wählen Sie eine ausx-Wert, bewegen Sie sich dann 2π in eine beliebige Richtung entlang desx-Achse; dasja-Wert sollte gleich bleiben.
Jetzt ausprobieren, wennnein = 2:
\sin (x + (2×2π)) = \sin (x) \\ \sin (x + 4π) = \sin (x)
Berechnen Sie für verschiedene Werte vonx: x = 0, x = π, x= π/2, oder überprüfen Sie es im Diagramm.
Die Kotangensfunktion folgt den gleichen Regeln, aber ihre Periode ist π Radiant statt 2π Radiant, daher sehen ihr Graph und ihre Gleichung wie folgt aus:
\cot (x + nπ) = \cot (x)
Beachten Sie, dass Tangens- und Kotangensfunktionen zwar periodisch, aber nicht stetig sind: Es gibt "Brüche" in ihren Graphen.
