Die Periode der Sinusfunktion ist2π, was bedeutet, dass der Wert der Funktion alle 2π Einheiten gleich ist.
Die Sinusfunktion ist wie Cosinus, Tangens, Kotangens und viele andere trigonometrische Funktionen aperiodische Funktion, was bedeutet, dass es seine Werte in regelmäßigen Abständen oder "Perioden" wiederholt. Im Fall der Sinusfunktion beträgt dieses Intervall 2π.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
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Die Periode der Sinusfunktion beträgt 2π.
Zum Beispiel sin (π) = 0. Wenn Sie 2π zum hinzufügenx-Wert, erhalten Sie sin (π + 2π), was sin (3π) ist. Genau wie sin (π) ist sin (3π) = 0. Jedes Mal, wenn Sie 2π von unserem hinzufügen oder subtrahierenx-Wert, die Lösung ist dieselbe.
Sie können den Zeitraum in einem Diagramm leicht als Abstand zwischen "übereinstimmenden" Punkten sehen. Da der Graph vonja= Sünde(x) sieht aus wie ein einzelnes Muster, das sich immer wieder wiederholt, Sie können es sich auch als die Entfernung entlang der vorstellenx-Achse, bevor der Graph beginnt, sich zu wiederholen.
Auf dem Einheitskreis ist 2π eine Reise um den Kreis herum. Jeder Betrag, der größer als 2π Radiant ist, bedeutet, dass Sie den Kreis weiterschleifen – das ist die sich wiederholende Natur der Sinusfunktion und eine andere Möglichkeit zu veranschaulichen, dass alle 2π-Einheiten der Wert der Funktion gleich ist.
Ändern der Periode der Sinusfunktion
Die Periode der Grundsinusfunktion
y = \sin(x)
ist 2π, aber wennxwird mit einer Konstanten multipliziert, die den Wert der Periode ändern kann.
Wennxmit einer Zahl größer als 1 multipliziert, die die Funktion "beschleunigt", und die Periode wird kleiner. Es dauert nicht so lange, bis sich die Funktion wiederholt.
Beispielsweise,
y = \sin (2x)
verdoppelt die "Geschwindigkeit" der Funktion. Die Periode beträgt nur π Radiant.
Aber fallsxwird mit einem Bruch zwischen 0 und 1 multipliziert, der die Funktion "verlangsamt", und period ist größer, da es länger dauert, bis sich die Funktion wiederholt.
Beispielsweise,
y = \sin\bigg(\frac{x}{2} \bigg)
halbiert die "Geschwindigkeit" der Funktion; Es dauert lange (4π Radiant), bis ein vollständiger Zyklus abgeschlossen ist und sich wieder zu wiederholen beginnt.
Finden Sie die Periode einer Sinusfunktion
Angenommen, Sie möchten die Periode einer modifizierten Sinusfunktion berechnen wie
y = \sin (2x) \text{ oder } y = \sin\bigg(\frac{x}{2}\bigg)
Der Koeffizient vonxist der Schlüssel; nennen wir diesen KoeffizientenB.
Wenn Sie also eine Gleichung in der Form habenja= Sünde(Bx), dann:
\text{Periode} = \frac{2π}{|B|}
Die Bars | | bedeuten "absoluter Wert", also wennBeine negative Zahl ist, würden Sie nur die positive Version verwenden. WennBwar -3, zum Beispiel würden Sie einfach mit 3 gehen.
Diese Formel funktioniert auch, wenn Sie eine kompliziert aussehende Variation der Sinusfunktion haben, wie z
y = \frac{1}{3}×\sin (4x + 3)
Der Koeffizient vonxist alles, was für die Berechnung des Zeitraums von Bedeutung ist, also würden Sie immer noch Folgendes tun:
\text{Periode} = \frac{2π}{|4|} \\ \,\\ \text{Periode} = \frac{π}{2}
Finden Sie die Periode einer beliebigen Trig-Funktion
Um die Periode von Kosinus, Tangens und anderen trigonometrischen Funktionen zu finden, verwenden Sie ein sehr ähnliches Verfahren. Verwenden Sie bei der Berechnung einfach den Standardzeitraum für die spezifische Funktion, mit der Sie arbeiten.
Da die Periode des Kosinus 2π ist, ist die gleiche wie bei Sinus die Formel für die Periode einer Kosinusfunktion dieselbe wie für Sinus. Aber für andere trigonometrische Funktionen mit einer anderen Periode, wie Tangente oder Kotangens, nehmen wir eine leichte Anpassung vor. Zum Beispiel der Zeitraum des Kinderbetts (x) ist π, also die Formel für die Periode vonja= Kinderbett (3x) ist:
\text{Periode} = \frac{π}{|3|}
wobei wir π statt 2π verwenden.
\text{Periode} = \frac{π}{3}